Η Αναπαραγωγή των Κονίκλων και ο Δρόμος προς το ΧΑΟΣ

-ΕΙΔΙΚΗ ΠΑΣΧΑΛΙΝΗ ΕΚΔΟΣΗ-

Το Χάος, έχει εισχωρήσει για τα καλά στο καθημερινό λεξιλόγιο εσχάτως, όχι όμως με τον τρόπο που γινόταν ανέκαθεν, δηλαδή σαν ένδειξη μιας καθολικής ακαταστασίας, αλλά έχοντας φιλοδοξίες σαφώς μεγαλύτερες, εισβάλλει σαν έννοια πλέον, που με υπερτονισμένο το μαθηματικό/φυσικό της υπόβαθρο διεκδικεί ταυτόχρονα και την ερμηνεία, πέρα από την απλή ονομασία ή περιγραφή, μιας οποιασδήποτε πολύπλοκης πραγματικότητας. Φυσικά κουτσή.

Δε λέω, είναι μια πολύ πιασάρικη λέξη που, [μιας και την ουσία της, από αυτούς που την κακοποιούν στα γενικά ακροατήρια, ουδείς σχεδόν κατανοεί], αποτελεί ένα βολικό super-duper πασπαρτού για την εξήγηση των πιο αλλόκοτων και δυσνόητων φαινομένων, δια της εφαρμογής της ομοιοπαθητικής μεθόδου: ερμηνεία του ακατανόητου μέσω μιας εξ ίσου ακατανόητης μεθόδου.

Σήμερα όμως σκοπεύω να διαλύσω αυτές τις τόσο βολικές ομίχλες και να αφηγηθώ ένα πολύ απλό σενάριο το οποίο περιέχει αρκετά από τα βασικά συστατικά στοιχεία της θεωρίας του Χάους, και το οποίο προέρχεται από την ζωή των κουνελιών, δηλαδή από τον θαυμαστό και πολύ περίεργο τρόπο με τον οποίον αναπαράγονται.


Η Δημογραφική Εξίσωση (LOGISTIC MAP)

Ας ξεκινήσουμε από την παρακάτω πολύ απλή εξίσωση

όπου οι μεταβλητές

xn και xn+1
δηλώνουν τους κουνελο-πληθυσμούς κατά τους χρόνους n και n+1, αντίστοιχα, και τους οποίους για χάριν ευκολίας, ας υποθέσουμε ότι παίρνουν τιμές μόνο μεταξύ 0 και 1.

r
είναι ένα θετικός πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, δηλαδή, τον αριθμό κουνελιών ανά έτος.

Η εξίσωση αυτή, (γνωστή και σαν δημογραφική εξίσωση), μας δείχνει ότι ο πληθυσμός των κουνελιών κατά τον χρόνο (n+1), που αναπαρίσταται στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ως (xn+1), εξαρτάται

1) από τον πληθυσμό κατά τον προηγούμενο χρόνο (xn),

2) από τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, (r), αλλά και

3) από έναν παράγοντα (1-xn), που δηλώνει την ελάττωση που επέρχεται στον optimum αριθμό των κουνελιών που μπορεί να εκθρέψει το δεδομένο περιβάλλον, (και είναι ίσος με 1), λόγω προκύπτοντος υπερπληθυσμού.

Έτσι,
για να βρούμε τον αριθμό των κουνελιών τον πρώτο χρόνο n=1, δίνουμε μια αυθαίρετη τιμή (πάντα ανάμεσα στο 0 και το 1) στον αρχικό πληθυσμό, (x0), κατά τον χρόνο n=0. Έστω 0.3. Υποθέτουμε, επίσης, μια τιμή θετική για τον ρυθμό αναπαραγωγής r, (ανάμεσα στο 0 και το 4 όπως θα δούμε παρακάτω) και υπολογίζουμε με ένα pocket calculator την παράσταση που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης. Ό,τι προκύψει για τον πληθυσμό στον πρώτο χρόνο, το αντικαθιστούμε πίσω στο δεξί μέλος, στο xn, και κάνοντας τις πράξεις με το ίδιο r, παίρνουμε τον πληθυσμό κατά τον δεύτερο χρόνο. Αυτό επαναλαμβάνεται αρκετές φορές μέχρι ότου ο τελικός πληθυσμός σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, έτσι ώστε με μια επί πλέον επανάληψη, δηλαδή την επόμενη χρονιά, ο πληθυσμός να μην αλλάζει. Ή να σταθεροποιείται σε ένα σύνολο τιμών που τις επόμενες χρονιές να παραμένουν οι ίδιες.

Η έκπληξη είναι ότι, (και εδώ μπαίνουμε στα χωράφια του Χάους), ο πληθυσμός των κουνελιών μετά από πολλές επαναλήψεις, μπορεί να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, μπορεί σε 2, μπορεί σε 4 , ή σε 1024 ή σε οποιαδήποτε απρόβλεπτη τιμή ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής r, δηλαδή ανάλογα με τον ρυθμό αναπαραγωγής και μόνο, και ανεξάρτητα από την υπόθεση που κάναμε για τον αρχικό πληθυσμό εκκίνησης, x0.

ΟΛΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ r, ΤΟΥ ΡΥΘΜΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Αν τοποθετήσουμε σε ένα διάγραμμα τις τιμές του r στον άξονα των x και τους τελικούς πληθυσμούς στον άξονα των y, τότε προκύπτει το πολύ πολύπλοκο διάγραμμα της επόμενης εικόνας, που ονομάζεται BIFURCATION diagram και το οποίο είναι ένα ακριβές αποτύπωμα της αναπαραγωγικής ή και σεξουαλικής συμπεριφοράς των συμπαθών τετραπόδων.

Έτσι, αν ο ρυθμός αναπαραγωγής r, είναι

1. ανάμεσα στο 0 και το 1, τότε μετά από μερικά χρόνια δεν θα έχει μείνει κανένα κουνέλι στο κοτέτσι.

2. ανάμεσα στο 1 και το 2, τότε ο πληθυσμός γρήγορα θα σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, την (r-1)/r, ανεξάρτητα πάντα από τον αρχικό πληθυσμό. Δηλαδή ο κουνελοπληθυσμός είναι προβλέψιμος.

3. ανάμεσα στο 2 και το 3 τότε ο πληθυσμός θα σταθεροποιηθεί μετά από κάποιες αρχικές ταλαντώσεις στην τιμή (r-1)/r, όπως και προηγουμένως, ενώ για το r=3 η σύγκλιση είναι πάρα πολύ αργή.

Ως εδώ ΔΕΝ παρατηρούμε κάποια ένδειξη Χάους. Οι πληθυσμοί είναι προβλέψιμοι. Τα πράγματα αρχίζουν να γίνονται ενδιαφέροντα όταν ο ρυθμός αναπαραγωγής αρχίσει να παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 3.

4. ανάμεσα στο 3 και το 3.449489 (στο περίπου), τότε μετά από κάμποσα χρόνια ο πληθυσμός των κουνελιών ταλαντώνεται σταθερά και προβλέψιμα ανάμεσα σε δύο τιμές, A και Β, εναλλάξ.

5. ανάμεσα στο 3.449489 και το 3.54 (στο περίπου), ο κουνελο-πληθυσμός μετά από χρόνια ταλαντώνεται ανάμεσα σε τέσσερεις διαδοχικές τιμές.

6. μεγαλύτερος του 3.54 ο πληθυσμός μπορεί να παίρνει μια από 8 πιθανές τιμές, για λίγο μεγαλύτερο r μπορεί να σταθεροποιείται σε μια από 16, ή 32, κ.ο.κ. τιμές. Το μήκος των διαστημάτων μεταβολής του r που δίνει τον ίδιο αριθμό πιθανών πληθυσμών, μικραίνει δραματικά, αλλά ο λόγος δυο διαδοχικών διαστημάτων είναι σταθερός, ίσος με δ=4.669, ονομάζεται σταθερά του Feigenbaum και θεωρείται μια από τις παγκόσμιες σταθερές.

Όλα αυτά συμβαίνουν εφ' όσον το r παίρνει τιμές μικρότερες του 3.57 (στο περίπου).

Η κατάσταση που μόλις περιγράψαμε και όπου για κάθε νέο διάστημα τιμών του r, διπλασιάζεται ο αριθμός των πιθανών τιμών στις οποίες μπορεί να σταθεροποιηθεί ο κουνελο-πληθυσμός, ονομάζεται period doubling cascade, και όταν παρατηρείται σε ένα δυναμικό σύστημα είναι σίγουρο ότι αυτό γρήγορα θα βρεί το δρόμο για το Χάος.

7. Το ΧΑΟΣ αρχίζει για r μεγαλύτερο του 3.57 όπου μια απειροελάχιστη μεταβολή του σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, επιφέρει δραματικές αλλαγές. Δηλαδή, το σύστημα μπορεί να κάτσει σε οποιαδήποτε τιμή, (ο αριθμός των κουνελιών μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή), η οποία θα είναι τελείως διαφορετική αν ο ρυθμός αναπαραγωγής μεταβληθεί κατά μια απειροελάχιστη ποσότητα, δηλαδή έστω και στο 15ο δεκαδικό ψηφίο, για παράδειγμα.

Εδώ φαίνεται αυτό που λέγεται για το Χάος, ότι δηλαδή, είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες.

8. Οι περισσότερες τιμές πέρα από το r=3.57 δίνουν απρόβλεπτη, ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά, δηλαδή κάθε επόμενη χρονιά ο πληθυσμός μπορεί να είναι ο οποιοσδήποτε. Παρ' όλα αυτά, υπάρχουν ακόμα κάποιες περιοχές τιμών όπου το σύστημα εμφανίζει ΜΗ-ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά. Αυτές οι περιοχές αντιστοιχούν στις λευκές ταινίες στο διάγραμμα της προηγούμενης εικόνας και ονομάζονται νησίδες σταθερότητας (islands of stability).

Οι περιοχές αυτές δείχνουν καθαρά πώς μπορεί ένα σύστημα που συμπεριφέρεται εντελώς χαοτικά, για μια μικρή αλλαγή των αρχικών συνθηκών του να γίνει και πάλι κανονικό και εύτακτο. Δηλαδή οι πληθυσμοί να ταλαντώνονται ανάμεσα σε δυο, ή τρεις ή πέντε τιμές και να είναι προβλέψιμοι από χρονιά σε χρονιά.

Το μοντέλο σταματάει μέχρι το r=4. Για μεγαλύτερες τιμές το σύστημα αποκλίνει. Και δεν ασχολούμαστε πλέον.

Όλα όσα είπαμε από το 1-7, μπορείτε να τα αναγνωρίσετε στην παραπάνω εικόνα, η οποία παρεμπιπτόντως είναι fractal, διότι με αυτά που είπαμε σε μια προηγούμενη ανάρτηση αν κάνετε μια μεγέθυνση ενός κομματιού του διαγράμματος, η εικόνα που θα προκύψει θα είναι ακριβώς ίδια με αυτή που βλέπετε τώρα. Την ιδιότητα αυτή την ονομάσαμε Αυτο-ομοιότητα και όπως βλέπουμε εδώ χαρακτηρίζει όλα τα Χαοτικά συστήματα.

Τι μάθαμε λοιπόν ως εδώ;

Α) Η χαοτική συμπεριφορά, δηλαδή η παντελής έλλειψη προβλεψιμότητας στον τελικό πληθυσμό συμβαίνει μετά από έναν καταιγιστικό ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟ των πιθανών αποτελεσμάτων, period doubling). Δηλαδή από μια προβλέψιμη τιμή του πληθυσμού, πηγαίνουμε σε 2 δυνατές τιμές του πληθυσμού, μετά σε 4, μετά σε 16, 32, κ.ο.κ, όσο αυξάνει ο ρυθμός αναπαραγωγής.

Β) Υπάρχουν περιοχές τάξης (δηλαδή προβλεψιμότητας) μέσα σε καθαρά χαοτικές περιοχές,

Γ) Το bifurcation διάγραμμα που παίρνουμε έχει φρακταλική δομή (αυτο-ομοιότητα).

Δ) Το χάος είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, (ειδικά για r ανάμεσα στο 3.57 και το 4).

ΥΓ. Όλα τα παραπάνω μπορείτε να τα βρείτε στο:http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map