Σάββατο, 29 Μαρτίου 2014

Αναλύοντας το χάος


Το πρωινό της 27ης Μαρτίου βρήκε τον Yakov Sinai, διαπρεπή καθηγητή του Πρίνστον στον τομέα της Μαθηματικής Φυσικής πλουσιότερο κατά 0.99 εκ. δολάρια, λίγο λιγότερα δηλαδή από το $1 εκ., γεγονός που προφανώς αποδίδεται στην τρέχουσα συναλλαγματική ισοτιμία της Νορβηγικής κορώνας έναντι του δολαρίου και όχι στη τσιγκουνιά της Νορβηγικής κυβέρνησης για το μη στρογγύλεμα του ποσού στο 1 εκ. Άλλωστε δεν θα υπήρχε και λόγος να το κάνει, μιας και ελέω πετρελαίου τα ταμεία της χώρας ουδέποτε σταμάτησαν να πηγαίνουν απ' το καλύτερο στο ...καλυτερότερο.

Η κυβέρνηση λοιπόν, αντιλαμβανόμενη το κενό που υπήρχε σχετικά με τη βράβευση επιφανών μαθηματικών, και θέλοντας να τιμήσει τον Νορβηγό Niels Henrik Abel (1802–1829), ιδιοφυή μαθηματικό, εισηγητή της αβελιανής θεωρίας ομάδων (Abelian Groups) και μιας σειράς άλλων καινοτομιών, αποφάσισε το 2002, στα 200 χρόνια από τη γέννησή του να θεσπίσει το ομόνυμο βραβείο, συνοδευόμενο μάλιστα από γενναίο χρηματικό ποσό, αντίστοιχο αυτού των βραβείων Nobel.

Για κάποιο περίεργο λόγο ο κ. Alfred Nobel, ενώ στη διαθήκη του το 1895 φρόντισε να θεσπίσει βραβεία για εξέχοντες δημιουργούς και ερευνητές από το χώρο της κουλτούρας και των επιστημών, συγκεκριμένα από τη Φυσική, Χημεία, Ιατρική, Λογοτεχνία και Ειρήνη, εν τούτοις οι μαθηματικοί δεν θεωρήθηκαν άξιοι λόγου για να συμπεριληφθούν στους ευεργέτες της ανθρωπότητας και να επιβραβευτούν. Το ίδιο και οι οικονομολόγοι, αν και το ατόπημα αυτό κάποιοι πίεσαν να διορθωθεί αρκετά αργότερα, το 1968. Παρά το γεγονός ότι οι οικονομολόγοι απέκτησαν το status του επιστήμονα με τη βοήθεια εξελιγμένων μαθηματικών εργαλείων, εν τούτοις οι δωρητές τους οι μαθηματικοί συνέχισαν να παραμένουν εκτός νυμφώνος.

Η αβλεψία αυτή διορθώθηκε αφ' ενός με το γενναιόδωρο βραβείο Abel, όπως είδαμε παραπάνω, αφ' ετέρου με το λιγότερο γενναιόδωρο, μόλις $15000, μετάλλιο Fields, ίσως διότι απευθυνόταν μεν σε εξέχοντες μαθηματικούς, μικρότερης ηλικίας δε.

Ο Yakov Sinai, ο φετινός παραλήπτης του βραβείου Abel, σύμφωνα με την ανακοίνωση της Νορβηγικής Ακαδημίας Επιστημών επιβραβεύτηκε για την πεντηκονταετή του συνεισφορά στη μαθηματική φυσική, στην εργοδική θεωρία, στη θεωρία πιθανοτήτων και στην εξερεύνηση των δυναμικών συστημάτων. Γεννημένος το 1935 στη Μόσχα, έλαβε το διδακτορικό του το 1963 από το πανεπιστήμιο της Μόσχας κάτω από την επίβλεψη του τιτανοτεράστιου Kolmogorov, ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Εργάστηκε ταυτόχρονα σαν καθηγητής στο ίδιο πανεπιστήμιο, και σαν ερευνητής στο περίφημο Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής Landau, της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Αυτά, μέχρι το 1993 οπότε και μεταπήδησε στην Αμερική, στο Πρίνστον, όπως συνέβαινε τότε, την εποχή της πτώσης της Σοβιετικής Ένωσης, με τους περισσότερους επιστήμονες του ανατολικού μπλοκ που δεν είχαν δελεαστεί από τα grants που μοίραζε αφειδώς ο Soros.

Δυναμικό, είναι κάθε σύστημα το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο βάσει ενός ορισμένου και σταθερού κανόνα. Γνωρίζοντας τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες των σωματιδίων που το αποτελούν, καθώς και τον κανόνα που μεταθέτει τα σωματίδια στο χώρο από τη μια χρονική στιγμή στην άλλη, μπορεί κανείς λύνοντας ένα σετ διαφορικών εξισώσεων να προβλέψει τη μελλοντική θέση και τις ιδιότητες του συστήματος. Οι μάντεις και οι προφήτες είχαν ανέκαθεν περίοπτη θέση στις ανθρώπινες κοινωνίες. Με τον καιρό τη θέση τους την πήραν οι επιστήμονες οι οποίοι μπορούσαν να δουν στο χρόνο τόσο μακριά, όσο η φύση των ίδιων των συστημάτων τους επέτρεπε να δουν. Κάποια συστήματα, τα ντετερμινιστικά, επιτρέπουν ακριβείς προβλέψεις, κάποια άλλα, τα χαοτικά, ανάλογα με το βαθμό της μη γραμμικής αλληλεπίδρασης των μεταβλητών τους, τις αποτρέπουν. Ένα χαοτικό σύστημα μπορεί να είναι είτε ντετερμινιστικό, είτε στοχαστικό.

Ο καιρός, για παράδειγμα, αποτελεί ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα, η πρόβλεψη του οποίου καθίσταται επισφαλής πέρα από ένα χρονικό ορίζοντα ολίγων ημερών. Αν και χαοτικό, περιγράφεται από καλοδιατυπωμένες εξισώσεις, χωρίς όμως ενσωματωμένη τυχαιότητα. Η αδυναμία μακροπρόθεσμης πρόβλεψης οφείλεται στην αδυναμία ακριβούς καθορισμού των αρχικών συνθηκών πίεσης και θερμοκρασίας. Μια ανεπαίσθητη διαφορά στις αρχικές τιμές μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς διαφορετικές εξελίξεις στο χρόνο, γεγονός που ουσιαστικά εξαλείφει την έννοια της πρόβλεψης.

Το πρόβλημα των τριών σωμάτων, όπως η περιγραφή της κίνησης του συστήματος Ήλιος-Γη-Σελήνη αποτελεί ένα ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα. Το ίδιο και η δυναμική εξέλιξη ενός πληθυσμού. Το πού θα σταθεροποιηθεί ο πληθυσμός εξαρτάται από το ρυθμό αναπαραγωγής. Πέραν μιας τιμής κάθε πρόβλεψη καθίσταται αδύνατη.

Από την άλλη, έχουμε τα στοχαστικά δυναμικά συστήματα τα οποία εξελίσσονται υπό την επίδραση θορύβου, δηλαδή τυχαίων διακυμάνσεων ενός πολύ μεγάλου αριθμού εξωτερικών μεταβλητών. Η επίδραση των τυχαίων κινήσεων των μορίων του νερού στη δυναμική εξέλιξη μιας πρωτείνης μπορεί να εκληφθεί σαν θόρυβος.

Η εισαγωγή της έννοιας της εντροπίας Kolmogorov-Sinai ήταν καθοριστική για τη διερεύνηση και κατάταξη των δυναμικών συστημάτων αναλόγως του βαθμού αβεβαιότητας στη μελλοντική τους εξέλιξη. Όσο μεγαλύτερη η εντροπία, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα. Οι μελέτες και τα μαθηματικά εργαλεία που ανέπτυξε όλα αυτά τα χρόνια κάλυψαν όλο το φάσμα, από τα αρχετυπικά ως τα πραγματικά χαοτικά συστήματα, από τους τυχαίους περιπάτους, ως την τυρβώδη ροή, από τις μεταβολές φάσης ώς τη μελέτη των μπιλιάρδων για την κατανόηση της χαοτικής συμπεριφοράς των πραγματικών και ιδανικών αερίων.

Παρά την ηλικία του, ο Sinai είναι ακόμα ακμαίος και ενεργός, συνεχίζοντας να διδάσκει, να εκπαιδεύει και να εξερευνεί σε βάθος τον πολύπλοκο κόσμο που μάς περιβάλει.

9 σχόλια:

Ναπoλέων είπε...

Ωραίο και χρήσιμο το άρθρο σου, Κυνικιά μας.
Ως συνήθως...

Μιά μόνο παρατήρηση από μένα τον ...ελαφρότατα κοινωνό των μαθηματικών και της φυσικής και του χάους:
« Όσο μεγαλύτερη η εντροπία, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα.»
Μήπως αντί "μεγαλύτερη" είναι "μικρότερη"; Ή αντί για "εντροπία" είναι "νεγκεντροπία";

Καλό Σαββατοκύριακο.
Και καλό μας κουράγιο βέβαια...
As ever.

cynical είπε...

Καλως τον Ναπολεοντα απο την ωραια Σκλίβανη!

Στην πληροφορικη η εντροπια ενος συστηματος αποτελει μέτρο της αταξιας, δηλαδη της αβεβαιοτητας και σχετιζεται με το ποση παραπανω πληροφορια πρεπει να προσθεσουμε για να προσδιορισουμε το εν λογω συστημα.
Για παραδειγμα σε μια περιποιημενη σχολικη ταξη με στοιχημενα τα θρανια, ο αλγοριθμος που την περιγραφει ειναι πολυ συντομος, διοτι υπάρχει περιοδικοτητα, ενω οταν τα θρανια ειναι σκορπισμενα με ατακτο τροπο, χρειαζομαστε πολυ περισσοτερη πληροφορια για να περιγραψουμε την ταξη. Επομενως οσο αυξανει η αταξια-τυχαιοτητα, και η αβεβαιοτητα, τοσο μεγαλωνει και η εντροπια.

spiral architect είπε...

Υπάρχει μια φήμη,(;) ένας μύθος(;) που λέει ότι ο Αλφρέδος ο Νόμπελ (όπως λέμε ο Νέλσον ο Μαντέλα) είχε άχτι έναν συμπατριώτη του σημαντικό μαθηματικό, τον Gosta Mittag-Leffler, από τους επικεφαλής του πανεπιστημίου της Στοκχόλμης και ιδρυτή ενός από τα τοπ μαθηματικά περιοδικά, του Acta Mathematica. Λέγεται ότι ο μαθηματικός του έφαγε την γκόμενα(;) τη σύζυγο(;) μια νύχτα με φεγγάρι και ο Νόμπελ του το κράταγε μανιάτικο και του αντίζηλου και όλων των συναδέλφων του μαθηματικών, γι΄αυτό και όταν ήρθε η ώρα να κάνει τη διαθήκη του, για τα μαθηματικά έκανε την πάπια.
Αλλά, σύμφωνα με ένα βιβλίο, η ερωτική απογοήτευση -aka κέρατο- του Αλφρέδου απ' τον τον Γκόστα πάνω στη διαμόρφωση του βραβείου πρέπει να είναι ένα αποκύημα φαντασίας και μένω εκεί, απλώς θαυμάζοντας την σε σωστή κατεύθυνση αναλυτικότητα του νου κάποιων ταγών (βραβευθέντων ή μη) των θετικών επιστημών.

cynical είπε...

Spiral,

ας μη χαλασουμε αυτην την εκδοχη. Κι ας αφεθουμε στη μαγεια του τυχαίου, για το πώς δηλαδή τα ωραία μάτια της ταπεινης ανθοπώλιδος Σοφί άλλαξαν τον ρου των μαθηματικών. Διοτι αν υπήρχε Νobel εξ αρχής, οι μαθηματικοι θα ειχαν κινητρο να δουλευουν πιο αποδοτικά και συντονισμενα και σε τομεις λιγοτερο αφηρημενους...

spiral architect είπε...

Έχει αποδειχθεί πειραματικά η μαθηματική αυτή θεώρηση του Sinai, ή μπας και έχει κάνει κάνα λάθος, κάποια παράβλεψη; Γιατί εν πολλοίς η κατ' αυτόν μαθηματική απόδειξη της μεταβολής των δυναμικών συστημάτων ανατρέπει την Αρχή της Απροσδιοριστίας και το τελευταίο είναι σοβαρό/

cynical είπε...

Ο Sinai εχει ασχοληθει με πολλα θεματα. Που ακριβως αναφερεσαι;

Η αρχη τ απροσδιοριστιας εχει νοημα στα κβαντικα συστηματα και οχι στα κλασσικα, θερμοδυναμικα συστηματα.

Το χαος ειναι κυριως κλασσικη εννοια και σε αυτο εχει γινει δουλεια. Καποιοι ασχολουνταν και με τη θεμελιωση του κβαντικου χαους, αλλα δεν ξερω ποσο μακρια εχουν παει.

spiral architect είπε...

Αν μιλάμε αποκλειστικά για κλασσικά θερμοδυναμικά συστήματα πάω πάσο, γιατί απ' όσα διάβασα μόλις τώρα ο Sinai μόνο με τη μελέτη των τελευταίων έχει ασχοληθεί.

Μαύρο πρόβατο είπε...

Γίγας. Το περίφημο σεμινάριό του που επιμελούταν στο πανεπιστήμιο της Μόσχας λέγεται οτι υπήρξε μια από τις συγκλονιστικές εμπειρίες του ανθρώπινου πολιτισμού στον ύστερο εικοστό αιώνα.

Μαύρο πρόβατο είπε...

-για τις μαθηματικές ψηλαφήσεις των σχολιαστών: φαίνεται οτι στην απροσδιοριστία μας βγάζει η μη αντιμεταθετική άλγεβρα. Ο Σινάι δεν είχε ασχοληθεί με την αντιμεταθετικότητα στα μαθηματικά του!