Econophysics: Η Φυσική στην υπηρεσία των Αγορών

 (Το πάνω frame δείχνει την πραγματική διακύμανση των returns του S&P500. Το κάτω, αν η διακύμανση γινόταν με τυχαίο τρόπο)

Η κεντρική τράπεζα, το υπουργείο οικονομικών, οι πολιτικοί, αλλά και οι απλοί ανθρωποι που θέλουν να διαχειρίζονται τα αποθέματά τους με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, όλοι αυτοί επιδιώκουν να γνωρίζουν τη μελλοντική πορεία της οικονομίας με τον πιο αξιόπιστο τρόπο. Για να κάνεις προβλέψεις πρέπει να έχεις μια θεωρία η οποία να μπορεί να πιάνει τα θεμελιώδη συστατικά στοιχεία μιας οικονομίας και τις αλληλεπιδράσεις που τα γενούν με τρόπο όσο δυνατόν πλησιέστερο προς την πραγματικότητα. Μια τέτοια θεωρία φυσικά δεν μπορεί να αποτελείται από μια αράδα απλών εξισώσεων, οπότε χρειαζόμαστε περίπλοκα υπολογιστικά μοντέλα και μεγάλη υπολογιστική δύναμη. Ευτυχώς σήμερα, κάτι τέτοιο δεν αποτελεί ανυπέρβλητο εμπόδιο.

Τα περισσότερα μοντέλα στα οποία βασίζονται οι μακρο-οικονομικές προβλέψεις είναι μοντέλα χτισμένα γύρω από καταστάσεις ισορροπίας. Δηλαδή μπορούν να κάνουν σχετικά καλές προβλέψεις όταν η οικονομία τρέχει με ένα τεμπέλικο ρυθμό χωρίς εν γένει μεγάλες εκπλήξεις. Τότε, το αύριο μπορεί να προβλεφτεί από προηγούμενες πληροφορίες του παρελθόντος κάνοντας απλώς μια προέκταση στο μέλλον. Το πόσο κοντινό ή μακρινό θα είναι αυτό το αύριο εξαρτάται από τη ραθυμία της οικονομίας.

Αλλά οι άνθρωποι, οι κεντρικές τράπεζες, κλπ δεν καίγονται να γνωρίζουν ένα μέλλον που θα είναι λίγο πολύ το ίδιο με το παρόν. Αυτό για το οποίο καίγονται είναι να γνωρίζουν τις πιθανότητες μιας μεγάλης αλλαγής. Κι εδώ τα μοντέλα που έχουν δομηθεί γύρω από καταστάσεις ισορροπίας είναι εντελώς άχρηστα.

Ας πάρουμε κάποιον που παίζει στο χρηματιστήριο και επενδύει σε μετοχές. Αυτό που τον ενδιαφέρει είναι να μάθει τι θα συμβεί σε 1-2-3 τέρμινα ώστε ανάλογα να αγοράσει ή να πουλήσει με κέρδος. Η κλασική ανακλαστική κίνηση είναι να κοιτάξει πίσω στο παρελθόν τη συμπεριφορά μιας μετοχής ή του συνολικού δείκτη ας πούμε του S&P500 και απο αυτή να σχηματίσει μια γνώμη για το μέλλον. Κι επειδή τα διάφορα ωριαία, ημερήσια, μηνιαία κλπ σκαμπανευάσματα δεν λένε και τίποτε συγκεκριμένο, επιστρατεύεται η θεωρία και το modeling.

Το ερώτημα που τίθεται είναι λοιπόν: 

Ποια είναι η κατανομή των διακυμάνσεων της τιμής του S&P500 σε ένα ικανό χρονικό διάστημα ας πούμε μιας δεκαετίας; Αντί της τιμής, καλύτερα είναι να πάρουμε την κατανομή των returns του δείκτη αυτού, δηλαδή την κατανομή της ποσότητας

τιμή(t)-τιμή(t-1). Όχι για λόγους ουσίας αλλά παρουσίασης.

Η κατανομή που προκύπτει είναι κάτι που μοιάζει αρκετά κοντά με γκαουσιανή κατανομή εκτός από κάποιες πολύ κρίσιμες λεπτομέρεις στις παρυφές της, στις οποίες και κρύβεται ο διάβολος, που είναι τα κράχ. Δηλαδή τα άκρα της, που αντιστοιχούν σε μεγάλες διακυμάνσεις των returns, δεν πιάνονται (βρίσκονται εκτός) από μια κανονική γκαουσιανή κατανομή, η οποία μηδενίζεται πολύ γρήγορα και επομένως αποκλείει γεγονότα με μεγάλες διακυμάνσεις, τα οποία όμως παρατηρούνται στην πράξη και είναι πιο συχνά απ' όσο νομίζουμε.

O Ibovespa είναι ο αντίστοιχος δείκτης του χρηματιστηρίου του Sao Paolo. Στο διάγραμμα αυτό τα διάσπαρτα σημεία (κύκλοι) αντιστοιχούν στην πραγματική κατανομή των τιμών μέσα σε μια μέρα, ενώ η μαύρη καμπύλη αντιστοιχεί στην καλύτερη γκαουσιανή. Βλέπουμε πώς η γκαουσιανή αδυνατεί να πιάσει τις μεγάλες διακυμάνσεις.

Η standard νεοκλασσική θεωρία (Black-Scholes-Merton), η οποία είναι θεωρία ισορροπίας, αφήνει απ' εξω το ζουμί, δηλαδή τις άκρες της κατανομής που δεν περιγράφονται από τη γκαουσιανή καμπύλη και υιοθετεί το πολύ απλό μοντέλο του Τυχαίου Περιπάτου, κατά το οποίο η διακύμαση του S&P500 είναι εντελώς τυχαία και επομένως μη προβλέψιμη. Ή μάλλον η πιο πιθανή τιμή στο μέλλον είναι η σημερινή η οποία και περικλείει όλη την πληροφορία που έχουν οι οικονομικοί δρώντες. Αν δηλαδή κάποιος πουλάει πολλές μετοχές σήμερα, με συνέπεια να πέσει η τιμή τους, αυτόματα θα εμφανιστούν άλλοι που θα τις αγοράσουν, οπότε και η τιμή θα επιστρέψει στα πρότερα επίπεδα. Συνεπώς, σύμφωνα με την αντίληψη αυτή κανείς δεν μπορεί (κατά μέσο όρο πάντα) να κερδίσει από την αγορά παρά μόνο μέσα σε ένα σύντομο χρονικό παράθυρο, πρίν συμβεί η διόρθωση της τιμής.

Τι γίνεται όμως αν ρίξουμε μια πιο κοντινή και χωρίς προκατάληψη ματιά στη χρονοσειρα των διακυμάνσεων της τιμής μια μετοχής ή του S&P500, ή του ΝΙΚΚΕΙ ή του DAX ή του NASDAQ ή όποιου άλλου θέλετε;

Αυτό που παρατηρεί το οξυδερκές μάτι είναι ένα πλούσιο υλικό από patterns. Χοντρικά τα εξής:

1. Η κατανομή των διακυμάνσεων παρουσιάζει “fat tails”, αυτές δηλαδή που κόβει η γκαουσιανή κατανομή, πράγμα που σημαίνει ότι οι μεγάλες διακυμάνσεις (αυτές τελικά που ενδιαφέρουν) έχουν σημαντική πιθανότητα να συμβούν. Οι κατανομές αυτές είναι πολυωνυμικές (power laws).
2. Οι διακυμάνσεις παρουσιάζουν έντονη ομαδοποίηση (clustering), δηλαδή μεγάλες αλλαγές στις τιμές ακολουθούνται χρονικά από εξίσου μεγάλες αλλαγές. Το ίδιο συμβαίνει και με τις μικρές αλλαγές. Μικρές αλλαγές ακολουθούνται από επίσης μικρές αλλαγές. Αν η διακύμανση ήταν απλώς τυχαία, τότε θα είχαμε μια ομοιόμορφη κατανομή στο χρόνο των μικρών και των μεγάλων διακυμάνσεων, πράγμα που δεν σημβαίνει.
3. Οι διακυμάνσεις σε μια χρονική στιγμή δεν είναι ανεξάρτητες από τις διακυμάνσεις σε προθύστερο χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συσχετισμός μεταξύ τους ή ότι οι τιμές έχουν “μνήμη”. (Στην πραγματικότητα για να ειμαστε ακριβείς αυτό που παρουσιάζει μνήμη, δηλαδή slow decay είναι η autocorrelation του τετραγώνου των τιμών).

Οι προηγούμενες εμπειρικές παρατηρήσεις παραπέμπουν στην εικόνα ότι οι Αγορές αποτελούν ένα complex φαινόμενο, χαρακτηριστικά του οποίου είναι η ύπαρξη μεγάλου αριθμού υποομάδων, οι οποίες δεν είναι ανεξάρτητες αλλά αλληλεπιδρούν και μάλιστα με μη γραμμικό τρόπο. Αν δούμε τα οικονομικά αποτελέσματα σαν απόρροια τέτοιων μη γραμμικών δυνάμεων με τα patterns τα οποία παράγουν, τότε μπορούμε με κατάλληλο modeling να αυξήσουμε την προβλεκτική μας ικανότητα.

Τα περισσότερα εν χρήσει μοντέλα είναι είτε απλώς γραμμικά ή γραμμικά με στοχαστικούς όρους και γιαυτό δεν μπορούν να πιάσουν επερχόμενα κραχ.

Η συμπεριφορά των Αγορών σε περιόδους κραχ ομοιάζει κατά πολύ με τη συμπεριφορά φυσικών συστημάτων πριν από μια μεταβολή φάσης, όπου κι εκεί παρατηρούνται έντονες διακυμάνσεις όλων των μεγεθών, η κατανομή πιθανοτήτων των οποίων ακολουθεί ένα power law της μορφής 1/|x|^α.

Η θεωρία και τα εννοιολογικά και μαθηματικά εργαλεία από το χώρο των κρίσιμων φαινομένων της Φυσικής μεταφερόμενα στην Οικονομία φτιάχνουν τον νέο και πολλά υποσχόμενο κλάδο του Econophysics για τον οποίο θα έχουμε την ευκαιρία να μιλήσουμε σε κάποια άλλη στιγμή.

Τα οφέλη της τυχαιότητας στην Οικονομία και Πολιτική

Η πρόσφατη οικονομική κρίση, πέρα από τον πόνο που επέφερε στους λαούς, κλόνισε και τα θεμέλια των πλέον διαδεδομένων οικονομικών αρχών και δη της επικρατούσας Efficient Markey Hypothesis, (EMH) η οποία προυποθέτει τέλεια πληροφορημένα και ανεπηρέαστα από το περιβάλλον τους οικονομικά υποκείμενα. Σύμφωνα με την EMH οικονομικές φούσκες και κατάρρευση των αγορών είναι αδύνατον να υπάρξουν. Να όμως που υπήρξαν και φυσικά κάπου στο μέλλον καραδοκούν και άλλες. Είναι ενδιαφέρον να μετρήσει κανείς τα άρθρα που βγήκαν στο φως της δημοσιότητας τον τελευταίο καιρό από πολύ σημαντικούς οικονομολόγους, ανάμεσα σ' αυτους και ο Robert Shiller, ένας από τους τρεις νομπελίστες του 2013, επιχειρώντας να υπερασπιστούν την επιστημονική βάση των Οικονομικών, μπας και σώσουν κάτι από την υπόληψή τους. Ενδεικτικό είναι το άρθρο του "Ιs Economics a Science?" που δημοσιεύτηκε στο Project Syndicate τον περασμένο Νοέμβρη.  Η ταυτόχρονη βράβευση του Eugene Fama εκ των εμνευστών της EMH, αν μη τι άλλο δείχνει την προσπάθεια αντιστήριξης της νεοκλασσικής εκδοχής των οικονομικών από την ολοκληρωτική απαξίωση και κατάρρευση.

Η κοινή λογική λέει ότι ο πραγματικός κόσμος τον οποίο και θέλεις να αναπαραστήσεις, είναι αλλεργικός σε κάθε είδους τελειότητες. Αυτές είναι μόνο για φανταστικά δημιουργήματα. Για να έχουν το ελάχιστο νόημα οι διδαχές, οι συστάσεις και οι προβλέψεις των μοντέλων σου, θα πρέπει να λάβεις υπ' όψιν ένα σωρό παράγοντες οι οποίοι έχουν να κάνουν με καθ' όλα ατελή υποκείμενα και κατά συνέπεια με καθ' όλα ατελείς συμπεριφορές. Κάτω απ' αυτές τις συνθήκες η αναπαράσταση θα τείνει να βρει και κάποια κοινά σημεία και με την πραγματικότητα.

Μια από τις αιτίες που οι άνθρωποι δεν φέρονται σαν ανεξάρτητα και απολύτως λογικά υποκείμενα, τα οποία διαβάζουν καθημερινά όλα τα έγκυρα οικονομικά περιοδικά και ακούνε ανελλιπώς τις ειδήσεις του Bloomberg με συνέπεια να γνωρίζουν επακριβώς τι κρύβεται πίσω από τα ακατάσχετα ανεβοκατεβάσματα του S&P500, είναι η αγελαία συμπεριφορά (herding behanior),  που τα διακρίνει. Όχι μόνο σαν οικονομικά υποκείμενα, αλλά και σαν πολιτικά. Ως προς το πρώτο, ενδεικτικό παράδειγμα είναι η συμπεριφορά του πλήθους το 1999 με το χρηματιστήριο, με τη γνωστή κατάληξη, ενώ ως προς το δεύτερο, είναι γνωστό το πώς η μετά κόπο αποκτηθεία μικρή δημοσκοπική διαφορά ενός κόμματος ως προς κάποιο άλλο ανταγωνιστικό, είναι δυνατόν να μεγεθυνθεί με πολύ μεγαλύτερο ρυθμό, όταν οι ψηφοφόροι πεισθούν ότι είναι αυτό που θα νικήσει στις εκλογές.

Ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο Physical Review E88, 062814 (2013), με τίτλο "Reducing financial avalanches by random investments" διερευνά το ρόλο που παίζουν οι τυχαίες επενδυτικές συμπεριφορές στο μετριασμό της πιθανότητας εμφάνισης φαινομένων κατάρρευσης στις χρηματιστηριακές αγορές. Το σκεπτικό του άρθρου είναι  ότι πίσω από μια φούσκα (χιονοστιβάδα σύμφωνα με τον τίτλο) τις περισσότερες φορές κρύβεται μια αγελαία συμπεριφορά, η οποία έρχεται φυσικά σε αντίθεση με την ορθολογικότητα που προυποθέτει η EMH. Η αγελαία συμπεριφορά συνίσταται στο ότι κάθε επενδυτής (κατά το άρθρο) επηρεάζεται, δηλαδή λαμβάνει πληροφορίες από τον διπλανό του, και αυτός από τον δικό του κ.ο.κ., με αποτέλεσμα η διάχυση και ενίσχυση της πληροφορίας σ' ένα μεγάλο δίκτυο να οδηγεί σε δυσάρεστα αποτελέσματα. Το φαινόμενο αυτό εμπίπτει σε μια ευρύτερη κατηγορία προβλημάτων της επιστήμης της πολυπλοκότητας, όπως για παράδειγμα οι σεισμοί, οι αμμόλοφοι και οι χιονοστιβάδες, τα μεγέθη των οποίων κατανέμονται σύμφωνα με το Νόμο του Εκθέτη, ή Νόμο της Ισχύος, (Power Law), όπου ναι μεν τα μικρά συμβάντα έχουν μεγάλες πιθανότητες να συμβούν, αλλά και τα μεγάλα συμβάντα, (μεγάλοι σεισμοί και καταποντισμοί, μεγάλες χιονοστιβάδες, και μεγάλα κραχ) αν και με μικρή πιθανότητα, μπορεί να είναι πολλά τον αριθμό, δηλαδή διόλου αμελητέα. Για τους αμμολόφους δείτε προηγούμενο κείμενο του blog με τίτλο "Ο θαυμαστός κόσμος των αμμολόφων και όχι μόνο".

 

Για να ξεφύγουν από τα συμπτώματα της αγελαίας συμπεριφοράς, οι ερευνητές Alessio Emanuele Biondo et al., αντικαθιστούν στο μοντέλο τους ένα μικρό ποσοστό "αγελαίων επενδυτών" με "τυχαίους επενδυτές", δηλαδή υποκείμενα τα οποία δεν ανταλλάσσουν πληροφορίες με κανέναν από το περιβάλλον, παρά βασίζουν τη στρατηγική τους σε εξωτερικές πληροφορίες, δηλαδή όσες παίρνουν από τους FT και το Bloomberg. Τα αποτελέσματα είναι καταπληκτικά:

1. με ένα ποσοστό τυχαιότητας της τάξης του 5%, η ισχύς ενός πιθανού κραχ μετριάζεται κατά 5 φορές. Δηλαδή, ένα μικρό μόνο ποσοστό "τυχαίων" επενδυτών κατανεμημένων τυχαία στην αγορά μπορεί να αποτρέψει την εμφάνιση καταστροφικών φαινομένων. 

2. τα κέρδη που  αποκομίζουν οι "τυχαίοι" επενδυτές είναι κατά μέσον όρο μεγαλύτερα από τα κέρδη αυτών που ακολούθησαν τυφλά το πλήθος. Σύμφωνα με το προηγούμενο μοντέλο, αν αρχικά όλοι οι επενδυτές είχαν αρχικό κεφάλαιο κατα μέσο όρο 1000 ευρώ, μακροπρόθεσμα οι "αγελαίοι" βρέθηκαν με 767 ευρώ, και οι "τυχαίοι" με 923 ευρώ. 

Αυτό, δηλαδή που καταφέρνει η τυχαιότητα είναι να σπάσει κάποιους δρόμους ροής και ενίσχυσης της πληροφορίας. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο δρα και σε μικρότερα φυσικά συστήματα, σε μικροσκοπικό επίπεδο.

Αλλά έτσι δρα και στην Πολιτική και συγκεκριμένα στις πολιτικές αποφάσεις, όπου κι εδώ, περισσότερο από οπουδήποτε αλλού παρατηρείται το herding phenomenon μεταξύ των βουλευτών. Σε προηγούμενο πάλι κείμενό μας με τίτλο "Κληρωτή Δημοκρατία" είχαμε παρουσιάσει άρθρο της ίδιας ομάδας ερευνητών, στο οποίο εξεταζόταν η θετική επίδραση των κληρωτών, τυχαίων βουλευτών, στην αποτελεσματική λειτουργία του κοινοβουλίου, όπου η αποτελεσματικότητα οριζόταν με βάση το γινόμενο των εξής 2 ποσοτήτων: το ποσοστό των νομοσχεδίων που έχουν ψηφιστεί, από το σύνολο των προταθέντων, και τον μέσο όρο του κοινού καλού που κάθε τέτοιο νομοσχέδιο ενσωματώνει. 

Έτσι με βάση το προτεινόμενο μοντέλο για κάθε κοινοβούλιο, αναλόγως του ποσοστού που καθένα από τα δυο κυρίαρχα κόμματα κατέχει, δηλαδή αναλόγως του συσχετισμού δυνάμεων, υπολογίζεται και ένας optimum αριθμός τυχαίων, κληρωτών βουλευτών, έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η οφέλεια του εν λόγω κοινοβουλίου. Όταν τα δυο κόμματα είναι σχεδόν ισοδύναμα, τότε αρκεί ένα μικρό ποσοστό κληρωτών, για παράδειγμα στο 4%. Όταν όμως η διαφορά στις έδρες είναι πολύ μεγάλη, τότε απαιτείται ένα αντιστοίχως μεγάλο ποσοστό κληρωτών, που να πλησιάζει έως και τις μισές έδρες.

Είναι εντυπωσιακό και πέρα από τη διαίσθηση, πώς η εισαγωγή της τυχαιότητας σε διαφορετικές σφαίρες της κοικωνικής ζωής μπορεί να παράξει τόσο ευεργετικά αποτελέσματα.

Έχει ο Εγκέφαλος Αμμόλοφους;

Όσοι είχαν την υπομονή και το θάρρος, εν μέσω καύσωνος, να διαβάσουν την προηγούμενη ανάρτηση (Ο Θαυμαστός Κόσμος των Αμμόλοφων), για τον τρόπο που λειτουργούν οι συμπαθείς αμμόλοφοι, θα εκπλαγούν όταν μάθουν ότι και ο ανθρώπινος εγκέφαλος μοιράζεται αρκετά κοινά στοιχεία με αυτούς. Ποιο είναι το κοινό τους χαρακτηριστικό; Ότι αμφότερα τα συστήματα εντάσσονται σε αυτό που ονομάζεται αυτο-οργανωμένη κρισιμότητα, (self-organized criticality). Τουτέστιν τόσο ένας αμμόλοφος, πριν πέσει επάνω του αυτός ο τελευταίος κόκκος άμμου που θα τον καταστρέψει, όσο και ένας εγκέφαλος, προτού γίνει αυτή η μοιραία μετάπτωση που θα κάνει όλα τα «λαμπάκια» να πάρουν φωτιά, βρίσκονται σε μια τακτοποιημένη και σταθερή κατάσταση, με τον μεν τον αμμόλοφο να καλοδέχεται και να χωνεύει αδιαμαρτύρητα τον κάθε νέο κόκκο άμμου που τού ‘ρχεται στο κεφάλι, με τον δε εγκέφαλο να εκτελεί το έργο του με ηρεμία και λογική.

Όπως ένας αμμόλοφος βρίσκεται μεταξύ φθοράς και αφθαρσίας, έτσι και ένας εγκέφαλος δουλεύει πάντα στα όρια του χάους. Ενώ η σταθερότητα συνεπάγεται την λογική και δομημένη σκέψη, το χάος απ’ την άλλη μεριά εκφράζει την απροσδόκητη σκέψη, ίσως και τη διάνοια. Άλλωστε και η κοινή λαλιά έχει βρει τρόπο, χωρίς να το γνωρίζει, να περιγράφει λεκτικά αυτές τις χαοτικές, αλλά άκρως δημιουργικές εγκεφαλικές καταστάσεις, ονομάζοντάς τες «brainstorming». Ελληνιστί, «τρικυμία εν κρανίω», αλλά με την καλή έννοια! Δεν μπορεί, όλοι θα το νοιώσαμε κάποτε αυτό, στα καλά καθούμενα, εκεί που τηγανίζαμε γαύρο ας πούμε, να μάς έρθει από το πουθενά κάτι σαν ηλεκτροσόκ, να σηκωθούμε ορθοί και να αναφωνήσουμε, «Ναι ρε γαμώτο!, Αυτό είναι!». Και φυσικά να μην αφορά τον γαύρο και πώς τηγανίζονται καλύτερα οι ουρές του.

Όπως η αμμοστιβάδα αποφορτίζει τον αμμόλοφο, όπως ο κεραυνός αποφορτίζει τη ατμόσφαιρα, έτσι και μια ξαφνική ηλεκτρική εκκένωση μπορεί να ξεκινήσει από ένα νευρώνα, ο οποίος να δώσει πάσα σε έναν γειτονικό του, και αυτός σε έναν άλλο, κ.ο.κ, με κατάληξη ένα ολόκληρο νευρωνικό κύκλωμα να πάρει φωτιά από το πουθενά. Αυτή η ηλεκτρική λοιπόν χιονοστιβάδα, λέγεται ότι γεννάει τη μεγάλη σκέψη, που πιθανόν να κυοφορούσαμε καιρό, αλλά τεμπέληδες καθώς ήμασταν προτιμούσαμε την ασφάλεια της σταθερής περιοχής με τις μικρούτσικες, λογικούτσικες σκέψεις, αποφεύγοντας να κοιτάξουμε κάτω στο γκρεμό που δίνει και τα ωραία και τα μεγάλα. Εγκέφαλος, κοινώς, χωρίς αστάθειες και τυχαιότητες, είναι ένας κοινός και άχρηστος εγκέφαλος!

Και για να μην έχουμε ψευδαισθήσεις ότι ο εγκέφαλός μας δουλεύει διαφορετικά από ότι ένας αμμόλοφος, μετρήσεις του μεγέθους τέτοιων ηλεκτρονικών καταιγίδων στον εγκέφαλο ιδιαιτέρως έξυπνων ποντικών έδειξαν, άκουσον-άκουσον ότι και αυτές ακολουθούν την γνωστή μας κατανομή (Power Law). Και το καλύτερο είναι ότι κάθε νευρώνας που διεγείρεται ηλεκτρικά, διεγείρει μόνον ένα γειτονικό του και όχι περισσότερους, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον κόκκο της άμμου, έναν δηλαδή κάθε φορά.


Να δείτε τώρα πώς η φύση έχει μάθει καλά το μάθημά της. Αν ένας νευρώνας διέγειρε περισσότερους από έναν γείτονές του κάθε φορά, τότε σίγουρα θα είχαμε μεγάλους μπελάδες, διότι το σύστημα θα έπεφτε στο βαθύ χάος και άντε να ξεμπερδεύεις. Εικάζεται ότι αυτό συμβαίνει σε μια επιληπτική κρίση, δηλαδή όταν από υπερβολικό ζήλο κάθε νευρώνας πυροδοτεί περισσότερους από έναν γείτονές του. Αν, από την άλλη μεριά πυροδοτούσε κατά μέσον όρο λιγότερους από έναν, τότε θα ήταν ένας ανιαρός και ίσως ατροφικός εγκέφαλος.

Υπάρχουν και πολλές άλλες ενδείξεις ότι ένας εγκέφαλος έχει πλεονέκτημα να δουλεύει σε τέτοιου είδους κρίσιμες καταστάσεις, στα όρια δηλαδή του χάους, διότι έτσι μπορεί να μεταφέρει πληροφορίες σε απομακρυσμένες εγκεφαλικές περιοχές, χωρίς να κινδυνεύει να πέσει στο πηγάδι της αταξίας και να χάσει τα μυαλά του. Καθώς επίσης και να μπορεί να προσαρμόζεται σε νέες καταστάσεις αναδιατάσσοντας ταχύτατα τα νευρωνικά του δίκτυα. Και δυστυχώς αυτό μπορεί να το κάνει μόνο κινούμενος οριακά. Μεταξύ μας, αυτό το βίτσιο μού θυμίζει κάποια παιδιά που δεν αποφασίζουν να ανοίξουν βιβλίο, παρά μόνον αν έχουν φτάσει τα πράγματα στο παρά πέντε. Μην ανησυχείτε λοιπόν, Φαίνεται ότι έχουν έναν πολύ ζωηρό εγκέφαλο!

Η τάση των εγκεφάλων να κινούνται στα όρια μεταξύ σταθερότητας και χάους ίσως δίνει εξήγηση και σε αυτό που πάντα γνώριζαν οι άνθρωποι, ότι δηλαδή μια μόνο λεπτή γραμμούλα χωρίζει την τρέλα από την μεγαλοφυΐα. Και για του λόγου το αληθές ας θυμηθούμε τον Νίτσε και τον Gödel, και τους δικούς μας Βιζυηνό και Χαλεπά.

Περισσότερα γιαυτά στο άρθρο του New Scientist: "Disorderly genius: How chaos drives the brain"

Ο Θαυμαστός Κόσμος των Αμμόλοφων και Όχι Μόνο!

Καλοκαίριασε λοιπόν για τα καλά και πολλοί από εμάς έχουν ήδη αρχίσει τα μπάνια, ενώ στον κοντινό ορίζοντα φαίνονται καθαρά και οι πολυαναμενόμενες διακοπές. Καλές και άγιες οι ξάπλες και οι καταχρήσεις, αλλά κάπου παραμονεύει και η πλήξη για τις ατέλειωτες ώρες, που όντας μακριά από τις γνώριμες ασχολίες δεν ξέρουμε πώς να τις γεμίσουμε με ενδιαφέρουσες δραστηριότητες.

Μιας και είναι πολύ πιθανό να στρατοπεδεύσουμε κοντά σε κάποια αμμουδερή παραλία, και να ξεγελάσουμε την πλήξη μας παίζοντας καμιά φορά με την άμμο, φτιάχνοντας κάστρα ή απλώς σκορπίζοντάς την εδώ κι εκεί, σκέφτηκα ότι θα είχε ενδιαφέρον να μάθουμε κάποια λίγα πράγματα για τον περίεργο κόσμο των αμμόλοφων, (sandpiles).

Για το παιχνίδι μας λοιπόν, χρειαζόμαστε η άμμος να είναι απολύτως στεγνή και ει δυνατόν κρυσταλλική, από αυτήν που συνήθως βρίσκουμε στις απάτητες παραλίες των κυκλαδονήσων. Γνωρίζουμε ήδη από τότε που ήμασταν παιδιά και είχαμε όλο το χρόνο να παίζουμε και να παρατηρούμε, ότι αφήνοντας την άμμο από τη χούφτα μας να ρέει σιγά σιγά μπορούσαμε να φτιάξουμε πολύ ωραίους κωνικούς λοφίσκους, οι οποίοι όμως κάποτε σταματούσαν να μεγαλώνουν σε ύψος, καθώς βλέπαμε ότι η επιπλέον άμμος που ρίχναμε κατέληγε στη δημιουργία μικρών αμμοστιβάδων διαφόρων μεγεθών (κάτι ανάλογο με τις χιονοστιβάδες), που τούς αποφόρτιζαν από την επιπλέον ποσότητα και τούς σταθεροποιούσαν. Κάποια δε φορά, άμα ήμασταν πολύ τυχεροί, θα παρατηρούσαμε η σταθεροποίηση αυτή να συμβαίνει με τη βοήθεια μιας μεγάλης και άκρως θεαματικής αμμοστιβάδας. Αυτά για μάς τους κοινούς θνητούς.

Γιατί κάποια παιχνιδιάρικα και περισσότερο φιλέρευνα πνεύματα όταν γύρισαν σπίτι τους από τις διακοπές θεώρησαν ότι το πράγμα είχε ζουμί και στρώθηκαν στους υπολογιστές τους για να το μελετήσουν περισσότερο. Τι θα μπορούσε να ρωτήσει ο οποιοσδήποτε; Να για παράδειγμα: πόσο μεγάλες μπορούν να γίνουν οι αμμοστιβάδες και ποια είναι η κατανομή τους; Πόσο συχνές είναι δηλαδή οι μεγάλες αμμοστιβάδες και πόσο οι μικρές; Υπακούουν οι κατανομές αυτές σε κάποιο νόμο; Αν ναι, τι ενδιαφέρον έχει και πού αλλού απαντάται στη φύση; Και άλλα πολλά που είναι όμως πιο τεχνικά και δεν θα μας απασχολήσουν σε πρώτη φάση.

Με απλά υπολογιστικά, αλλά χρονοβόρα, μοντέλα βρέθηκε ότι οι αμμοστιβάδες αποτελούν πρώτυπο σύστημα μιας ενδιαφέρουσας κατηγορίας φαινομένων που ονομάζονται κρίσιμα φαινόμενα (critical phenomena), για το λόγο ότι η προσθήκη ενός επιπλέον κόκκου άμμου στον λοφίσκο μπορεί να θέσει σε κίνηση μια ολόκληρη αμμοστιβάδα, η οποία βοηθάει στην απομάκρυνση μεγάλων ή μικρών ποσοτήτων άμμου μέχρις ότου ο λοφίσκος ηρεμήσει από το σοκ της κατολίσθησης και σταθεροποιηθεί. Πριν την έναρξη της αμμοστιβάδας λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ασταθή κρίσιμη κατάσταση, από την οποία με την προσθήκη ενός μόνο κόκκου όλα είναι δυνατόν να συμβούν. Το ότι ο λοφίσκος φτάνει σε αυτή την άκρως «επικίνδυνη» κατάσταση, στο «τσακ» δηλαδή, οφείλεται στη συνεργασία σε τοπικό επίπεδο πολλών κόκκων μαζί από διάφορα μέρη του λοφίσκου μέσα από άκρως μη-γραμμικές αλληλεπιδράσεις, τις οποίες τρέχα-γύρευε να προσδιορίσεις μικροσκοπικά.

Αν έχουμε την υπομονή και τα εργαλεία να μετράμε κάθε φορά το μέγεθος των αμμοστιβάδων και το κάνουμε αυτό πάρα πολλές φορές, βλέπουμε ότι η κατανομή τους ακολουθεί έναν απλό, αλλά πολύ σημαντικό νόμο, που αναπαρίσταται από την ακόλουθη εξίσωση:

Εδώ, N(S) είναι η συχνότητα εμφάνισης μια αμμοστιβάδας μεγέθους S. Ο εκθέτης (-τ) δείχνει πόσο γρήγορα πέφτει η κατανομή τους, δηλαδή πόσο μεγάλες αμμοστιβάδες περιμένουμε να συμβούν και πόσο συχνές θα είναι αυτές. Η γραφική παράσταση της προηγούμενης εξίσωσης φαίνεται στην επόμενη εικόνα,

όπου ο οριζόντιος άξονας δείχνει το μέγεθος μιας αμμοστιβάδας (S), το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Ο δε κάθετος δείχνει τη συχνότητα εμφάνισης N(S) ενός ορισμένου μεγέθους (S).

Η εν λόγω κατανομή που ονομάζεται Νόμος Ισχύος (Power Law), μάς λέει ότι τα μεγάλου μεγέθους φαινόμενα έχουν μικρότερη συχνότητα εμφάνισης, από τα μικρού μεγέθους τα οποία εμφανίζονται συχνότερα, ενώ θεωρητικά πάντα, η πιθανότητα είναι άπειρη για να μην εμφανιστεί καμιά αμμοστιβάδα. Σε αντίθεση όμως με άλλες φθίνουσες κατανομές, όπως οι εκθετικές ή οι κανονικές, αυτές δηλαδή που μοιάζουν με καμπάνα, οι συγκεκριμένες είναι πολύ τεμπέλικες, τείνουν δηλαδή στο μηδέν πολύ πολύ αργά, με αποτέλεσμα να δίνουν (αναλόγως του εκθέτη), μακριές έως πολύ μακριές ουρές, (η κίτρινη περιοχή), όπερ μεταφράζεται σε πολλές μεγάλες αμμοστιβάδες, έστω και με μικρή πιθανότητα για κάθε μιά τους. Και εδώ ακριβώς εστιάζεται η παραξενιά και το ενδιαφέρον τους.


ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ του ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ (Παραδείγματα)

Αν τώρα ψάξουμε ολόγυρά μας στη φύση και στον πραγματικό πολύπλοκο κόσμο μας, διαπιστώνουμε ότι τέτοιου είδους (Power Law) κατανομές είναι πάρα πολύ συχνές. Αποτελούν τον πλέον κοινό τόπο και είναι απίστευτο πώς καταφέρνουν και αναπαριστούν ένα σωρό φαινόμενα τελείως διαφορετικά μεταξύ τους.

Πρώτα πρώτα στην Οικονομία. Η διαπίστωση ότι η ανισότητα στην κατανομή εισοδήματος μπορεί να περιγραφεί από έναν τέτοιο νόμο ανήκει στον Pareto, ο οποίος είχε βρει χοντρά χοντρά ότι στην Ιταλία της εποχής του το 80% του πλούτου ανήκε στο 20% του πληθυσμού, και ότι στα άκρα της κατανομής, στα πολύ χαμηλά δηλαδή εισοδήματα γινόταν το αδιαχώρητο. Αυτό δείχνουν στην πραγματικότητα οι μακριές ουρές: μικρή πιθανότητα να συμβεί κάτι, αλλά αν αυτά τα «μικρά» είναι τόσα πολλά, αποκτούν σημαντικό βάρος ώστε να μην μπορούμε να τα αγνοήσουμε.

Επίσης οι διακυμάνσεις των μετοχών ακολουθούν παρόμοια κατανομή, όπως και οι οικονομικές κρίσεις. Τουτέστιν, οι μεγάλες κρίσεις δεν είναι ένα τόσο σπάνιο φαινόμενο, όσο θέλουμε να πιστεύουμε. Και εδώ οι μακριές, αλλά και παχιές ουρές βάζουν το χέρι τους.

Οι αγορές επίσης. Ενώ η μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντων διακινείται από malls και department stores, εν τούτοις κάτω από την μακριά και παχιά ουρά της κατανομής βρίσκονται κρυμμένα πάρα πολλά προϊόντα που διακινούνται από πληθώρα μικρών επιχειρήσεων και τα οποία στο σύνολό τους συγκροτούν μια καθόλου αμελητέα αγορά.

Αν ξεφύγουμε από την οικονομία και πάμε στις πόλεις, βλέπουμε ότι η κατανομή που ακολουθούν αναλόγως του πληθυσμού τους υπακούει στον ίδιο ακριβώς νόμο. Υπάρχουν λίγες πόλεις με μεγάλο πληθυσμό, ενώ πάρα πολλές με μικρό.

Αλλά τα περισσότερα παραδείγματα έρχονται από την ίδια την φύση και κυρίως από φαινόμενα φυσικών καταστροφών! Πάρτε για παράδειγμα τους σεισμούς, τις κατολισθήσεις και τις πυρκαγιές. Το μέγεθός τους κατανέμεται όπως και το μέγεθος των αμμοστιβάδων βάσει της εξίσωσης που δείξαμε παραπάνω.

Πάμε τώρα στη βιολογία. Ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα και το προσδόκιμο ζωής σαν συνάρτηση της μάζας του σώματός τους πέφτουν στα χνάρια του ίδιου νόμου.

Στη γλωσσολογία, η κατανομή των λέξεων σε ένα κείμενο έχει πάλι την ίδια κατανομή.

Τα παραδείγματα που ανέφερα ως τα τώρα μπορεί να φαίνονται αυτονόητα και λογικά, αλλά δεν είναι ακριβώς έτσι. Και τούτο διότι υπάρχουν πάρα πολλές συναρτήσεις με τα ίδια ποιοτικά χαρακτηριστικά όπως αυτή που δείξαμε, αλλά σε καμία από αυτές δεν μπορούν να ταιριάξουν τα δεδομένα όλων των προηγούμενων και τόσο διαφορετικών περιπτώσεων.

Πέρα απ’ αυτά, υπάρχουν και άλλα πολλά περισσότερα παραδείγματα που μπορείτε να βρείτε στη βιβλιογραφία. Μοιραία, όμως ερχόμαστε στο ερώτημα τού γιατί η Φύση δείχνει τόση μεγάλη εύνοια στις κατανομές αυτές (Power Law). Έλα ντε!

Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ενιαία εξήγηση, γιατί κάθε σύστημα έχει τις ιδιαιτερότητές του και τον δικό του μυστικό μηχανισμό. Αλλά η ενιαία μακροσκοπική έκφραση δεν μπορεί παρά να υπαγορεύεται από κάτι το κοινό και το θεμελιώδες που ενυπάρχει στο υπόστρωμα όλων των προαναφερθέντων συστημάτων. Και αυτό το θεμελιώδες δεν είναι παρά η φρακταλική φύση του παράγωγου μηχανισμού. Για παράδειγμα, έχει αποδειχτεί μαθηματικά ότι ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα, που είναι ανάλογος της μάζας του σώματός τους υψωμένης στο 0.75, (~m^(0.75)), οφείλεται στο πλέγμα των αιμοφόρων αγγείων τα οποία συνιστούν ένα φρακταλικό αντικείμενο. Η συνάρτηση Power Law, από τη φύση της, έχει ενσωματωμένη την ιδιότητα τής αυτο-ομοιότητας, που χαρακτηρίζει ένα φράκταλ, διότι διατηρεί τη μορφή της σε όλες τις κλίμακες, (scale invariance).

Το δίδαγμα της παρούσας ιστορίας λοιπόν είναι ότι η πολυπλοκότητα στη Φύση μπορεί να εκφραστεί με έναν πολύ απλό νόμο, ο οποίος και μας υπενθυμίζει ότι στα θεμέλια κάθε πολύπλοκου συστήματος πιθανόν να κατοικοεδρεύει κάποιο πανέμορφο και παντοδύναμο φράκταλ!

Υ.Γ. Αν και καύσων, σάς ευχαριστώ για την προσοχή σας!!!