Ο Θαυμαστός Κόσμος των Αμμόλοφων και Όχι Μόνο!

Καλοκαίριασε λοιπόν για τα καλά και πολλοί από εμάς έχουν ήδη αρχίσει τα μπάνια, ενώ στον κοντινό ορίζοντα φαίνονται καθαρά και οι πολυαναμενόμενες διακοπές. Καλές και άγιες οι ξάπλες και οι καταχρήσεις, αλλά κάπου παραμονεύει και η πλήξη για τις ατέλειωτες ώρες, που όντας μακριά από τις γνώριμες ασχολίες δεν ξέρουμε πώς να τις γεμίσουμε με ενδιαφέρουσες δραστηριότητες.

Μιας και είναι πολύ πιθανό να στρατοπεδεύσουμε κοντά σε κάποια αμμουδερή παραλία, και να ξεγελάσουμε την πλήξη μας παίζοντας καμιά φορά με την άμμο, φτιάχνοντας κάστρα ή απλώς σκορπίζοντάς την εδώ κι εκεί, σκέφτηκα ότι θα είχε ενδιαφέρον να μάθουμε κάποια λίγα πράγματα για τον περίεργο κόσμο των αμμόλοφων, (sandpiles).

Για το παιχνίδι μας λοιπόν, χρειαζόμαστε η άμμος να είναι απολύτως στεγνή και ει δυνατόν κρυσταλλική, από αυτήν που συνήθως βρίσκουμε στις απάτητες παραλίες των κυκλαδονήσων. Γνωρίζουμε ήδη από τότε που ήμασταν παιδιά και είχαμε όλο το χρόνο να παίζουμε και να παρατηρούμε, ότι αφήνοντας την άμμο από τη χούφτα μας να ρέει σιγά σιγά μπορούσαμε να φτιάξουμε πολύ ωραίους κωνικούς λοφίσκους, οι οποίοι όμως κάποτε σταματούσαν να μεγαλώνουν σε ύψος, καθώς βλέπαμε ότι η επιπλέον άμμος που ρίχναμε κατέληγε στη δημιουργία μικρών αμμοστιβάδων διαφόρων μεγεθών (κάτι ανάλογο με τις χιονοστιβάδες), που τούς αποφόρτιζαν από την επιπλέον ποσότητα και τούς σταθεροποιούσαν. Κάποια δε φορά, άμα ήμασταν πολύ τυχεροί, θα παρατηρούσαμε η σταθεροποίηση αυτή να συμβαίνει με τη βοήθεια μιας μεγάλης και άκρως θεαματικής αμμοστιβάδας. Αυτά για μάς τους κοινούς θνητούς.

Γιατί κάποια παιχνιδιάρικα και περισσότερο φιλέρευνα πνεύματα όταν γύρισαν σπίτι τους από τις διακοπές θεώρησαν ότι το πράγμα είχε ζουμί και στρώθηκαν στους υπολογιστές τους για να το μελετήσουν περισσότερο. Τι θα μπορούσε να ρωτήσει ο οποιοσδήποτε; Να για παράδειγμα: πόσο μεγάλες μπορούν να γίνουν οι αμμοστιβάδες και ποια είναι η κατανομή τους; Πόσο συχνές είναι δηλαδή οι μεγάλες αμμοστιβάδες και πόσο οι μικρές; Υπακούουν οι κατανομές αυτές σε κάποιο νόμο; Αν ναι, τι ενδιαφέρον έχει και πού αλλού απαντάται στη φύση; Και άλλα πολλά που είναι όμως πιο τεχνικά και δεν θα μας απασχολήσουν σε πρώτη φάση.

Με απλά υπολογιστικά, αλλά χρονοβόρα, μοντέλα βρέθηκε ότι οι αμμοστιβάδες αποτελούν πρώτυπο σύστημα μιας ενδιαφέρουσας κατηγορίας φαινομένων που ονομάζονται κρίσιμα φαινόμενα (critical phenomena), για το λόγο ότι η προσθήκη ενός επιπλέον κόκκου άμμου στον λοφίσκο μπορεί να θέσει σε κίνηση μια ολόκληρη αμμοστιβάδα, η οποία βοηθάει στην απομάκρυνση μεγάλων ή μικρών ποσοτήτων άμμου μέχρις ότου ο λοφίσκος ηρεμήσει από το σοκ της κατολίσθησης και σταθεροποιηθεί. Πριν την έναρξη της αμμοστιβάδας λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ασταθή κρίσιμη κατάσταση, από την οποία με την προσθήκη ενός μόνο κόκκου όλα είναι δυνατόν να συμβούν. Το ότι ο λοφίσκος φτάνει σε αυτή την άκρως «επικίνδυνη» κατάσταση, στο «τσακ» δηλαδή, οφείλεται στη συνεργασία σε τοπικό επίπεδο πολλών κόκκων μαζί από διάφορα μέρη του λοφίσκου μέσα από άκρως μη-γραμμικές αλληλεπιδράσεις, τις οποίες τρέχα-γύρευε να προσδιορίσεις μικροσκοπικά.

Αν έχουμε την υπομονή και τα εργαλεία να μετράμε κάθε φορά το μέγεθος των αμμοστιβάδων και το κάνουμε αυτό πάρα πολλές φορές, βλέπουμε ότι η κατανομή τους ακολουθεί έναν απλό, αλλά πολύ σημαντικό νόμο, που αναπαρίσταται από την ακόλουθη εξίσωση:

Εδώ, N(S) είναι η συχνότητα εμφάνισης μια αμμοστιβάδας μεγέθους S. Ο εκθέτης (-τ) δείχνει πόσο γρήγορα πέφτει η κατανομή τους, δηλαδή πόσο μεγάλες αμμοστιβάδες περιμένουμε να συμβούν και πόσο συχνές θα είναι αυτές. Η γραφική παράσταση της προηγούμενης εξίσωσης φαίνεται στην επόμενη εικόνα,

όπου ο οριζόντιος άξονας δείχνει το μέγεθος μιας αμμοστιβάδας (S), το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Ο δε κάθετος δείχνει τη συχνότητα εμφάνισης N(S) ενός ορισμένου μεγέθους (S).

Η εν λόγω κατανομή που ονομάζεται Νόμος Ισχύος (Power Law), μάς λέει ότι τα μεγάλου μεγέθους φαινόμενα έχουν μικρότερη συχνότητα εμφάνισης, από τα μικρού μεγέθους τα οποία εμφανίζονται συχνότερα, ενώ θεωρητικά πάντα, η πιθανότητα είναι άπειρη για να μην εμφανιστεί καμιά αμμοστιβάδα. Σε αντίθεση όμως με άλλες φθίνουσες κατανομές, όπως οι εκθετικές ή οι κανονικές, αυτές δηλαδή που μοιάζουν με καμπάνα, οι συγκεκριμένες είναι πολύ τεμπέλικες, τείνουν δηλαδή στο μηδέν πολύ πολύ αργά, με αποτέλεσμα να δίνουν (αναλόγως του εκθέτη), μακριές έως πολύ μακριές ουρές, (η κίτρινη περιοχή), όπερ μεταφράζεται σε πολλές μεγάλες αμμοστιβάδες, έστω και με μικρή πιθανότητα για κάθε μιά τους. Και εδώ ακριβώς εστιάζεται η παραξενιά και το ενδιαφέρον τους.


ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ του ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ (Παραδείγματα)

Αν τώρα ψάξουμε ολόγυρά μας στη φύση και στον πραγματικό πολύπλοκο κόσμο μας, διαπιστώνουμε ότι τέτοιου είδους (Power Law) κατανομές είναι πάρα πολύ συχνές. Αποτελούν τον πλέον κοινό τόπο και είναι απίστευτο πώς καταφέρνουν και αναπαριστούν ένα σωρό φαινόμενα τελείως διαφορετικά μεταξύ τους.

Πρώτα πρώτα στην Οικονομία. Η διαπίστωση ότι η ανισότητα στην κατανομή εισοδήματος μπορεί να περιγραφεί από έναν τέτοιο νόμο ανήκει στον Pareto, ο οποίος είχε βρει χοντρά χοντρά ότι στην Ιταλία της εποχής του το 80% του πλούτου ανήκε στο 20% του πληθυσμού, και ότι στα άκρα της κατανομής, στα πολύ χαμηλά δηλαδή εισοδήματα γινόταν το αδιαχώρητο. Αυτό δείχνουν στην πραγματικότητα οι μακριές ουρές: μικρή πιθανότητα να συμβεί κάτι, αλλά αν αυτά τα «μικρά» είναι τόσα πολλά, αποκτούν σημαντικό βάρος ώστε να μην μπορούμε να τα αγνοήσουμε.

Επίσης οι διακυμάνσεις των μετοχών ακολουθούν παρόμοια κατανομή, όπως και οι οικονομικές κρίσεις. Τουτέστιν, οι μεγάλες κρίσεις δεν είναι ένα τόσο σπάνιο φαινόμενο, όσο θέλουμε να πιστεύουμε. Και εδώ οι μακριές, αλλά και παχιές ουρές βάζουν το χέρι τους.

Οι αγορές επίσης. Ενώ η μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντων διακινείται από malls και department stores, εν τούτοις κάτω από την μακριά και παχιά ουρά της κατανομής βρίσκονται κρυμμένα πάρα πολλά προϊόντα που διακινούνται από πληθώρα μικρών επιχειρήσεων και τα οποία στο σύνολό τους συγκροτούν μια καθόλου αμελητέα αγορά.

Αν ξεφύγουμε από την οικονομία και πάμε στις πόλεις, βλέπουμε ότι η κατανομή που ακολουθούν αναλόγως του πληθυσμού τους υπακούει στον ίδιο ακριβώς νόμο. Υπάρχουν λίγες πόλεις με μεγάλο πληθυσμό, ενώ πάρα πολλές με μικρό.

Αλλά τα περισσότερα παραδείγματα έρχονται από την ίδια την φύση και κυρίως από φαινόμενα φυσικών καταστροφών! Πάρτε για παράδειγμα τους σεισμούς, τις κατολισθήσεις και τις πυρκαγιές. Το μέγεθός τους κατανέμεται όπως και το μέγεθος των αμμοστιβάδων βάσει της εξίσωσης που δείξαμε παραπάνω.

Πάμε τώρα στη βιολογία. Ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα και το προσδόκιμο ζωής σαν συνάρτηση της μάζας του σώματός τους πέφτουν στα χνάρια του ίδιου νόμου.

Στη γλωσσολογία, η κατανομή των λέξεων σε ένα κείμενο έχει πάλι την ίδια κατανομή.

Τα παραδείγματα που ανέφερα ως τα τώρα μπορεί να φαίνονται αυτονόητα και λογικά, αλλά δεν είναι ακριβώς έτσι. Και τούτο διότι υπάρχουν πάρα πολλές συναρτήσεις με τα ίδια ποιοτικά χαρακτηριστικά όπως αυτή που δείξαμε, αλλά σε καμία από αυτές δεν μπορούν να ταιριάξουν τα δεδομένα όλων των προηγούμενων και τόσο διαφορετικών περιπτώσεων.

Πέρα απ’ αυτά, υπάρχουν και άλλα πολλά περισσότερα παραδείγματα που μπορείτε να βρείτε στη βιβλιογραφία. Μοιραία, όμως ερχόμαστε στο ερώτημα τού γιατί η Φύση δείχνει τόση μεγάλη εύνοια στις κατανομές αυτές (Power Law). Έλα ντε!

Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ενιαία εξήγηση, γιατί κάθε σύστημα έχει τις ιδιαιτερότητές του και τον δικό του μυστικό μηχανισμό. Αλλά η ενιαία μακροσκοπική έκφραση δεν μπορεί παρά να υπαγορεύεται από κάτι το κοινό και το θεμελιώδες που ενυπάρχει στο υπόστρωμα όλων των προαναφερθέντων συστημάτων. Και αυτό το θεμελιώδες δεν είναι παρά η φρακταλική φύση του παράγωγου μηχανισμού. Για παράδειγμα, έχει αποδειχτεί μαθηματικά ότι ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα, που είναι ανάλογος της μάζας του σώματός τους υψωμένης στο 0.75, (~m^(0.75)), οφείλεται στο πλέγμα των αιμοφόρων αγγείων τα οποία συνιστούν ένα φρακταλικό αντικείμενο. Η συνάρτηση Power Law, από τη φύση της, έχει ενσωματωμένη την ιδιότητα τής αυτο-ομοιότητας, που χαρακτηρίζει ένα φράκταλ, διότι διατηρεί τη μορφή της σε όλες τις κλίμακες, (scale invariance).

Το δίδαγμα της παρούσας ιστορίας λοιπόν είναι ότι η πολυπλοκότητα στη Φύση μπορεί να εκφραστεί με έναν πολύ απλό νόμο, ο οποίος και μας υπενθυμίζει ότι στα θεμέλια κάθε πολύπλοκου συστήματος πιθανόν να κατοικοεδρεύει κάποιο πανέμορφο και παντοδύναμο φράκταλ!

Υ.Γ. Αν και καύσων, σάς ευχαριστώ για την προσοχή σας!!!