Τετάρτη, 8 Ιουλίου 2009

Ο Θαυμαστός Κόσμος των Αμμόλοφων και Όχι Μόνο!


Καλοκαίριασε λοιπόν για τα καλά και πολλοί από εμάς έχουν ήδη αρχίσει τα μπάνια, ενώ στον κοντινό ορίζοντα φαίνονται καθαρά και οι πολυαναμενόμενες διακοπές. Καλές και άγιες οι ξάπλες και οι καταχρήσεις, αλλά κάπου παραμονεύει και η πλήξη για τις ατέλειωτες ώρες, που όντας μακριά από τις γνώριμες ασχολίες δεν ξέρουμε πώς να τις γεμίσουμε με ενδιαφέρουσες δραστηριότητες.

Μιας και είναι πολύ πιθανό να στρατοπεδεύσουμε κοντά σε κάποια αμμουδερή παραλία, και να ξεγελάσουμε την πλήξη μας παίζοντας καμιά φορά με την άμμο, φτιάχνοντας κάστρα ή απλώς σκορπίζοντάς την εδώ κι εκεί, σκέφτηκα ότι θα είχε ενδιαφέρον να μάθουμε κάποια λίγα πράγματα για τον περίεργο κόσμο των αμμόλοφων, (sandpiles).

Για το παιχνίδι μας λοιπόν, χρειαζόμαστε η άμμος να είναι απολύτως στεγνή και ει δυνατόν κρυσταλλική, από αυτήν που συνήθως βρίσκουμε στις απάτητες παραλίες των κυκλαδονήσων. Γνωρίζουμε ήδη από τότε που ήμασταν παιδιά και είχαμε όλο το χρόνο να παίζουμε και να παρατηρούμε, ότι αφήνοντας την άμμο από τη χούφτα μας να ρέει σιγά σιγά μπορούσαμε να φτιάξουμε πολύ ωραίους κωνικούς λοφίσκους, οι οποίοι όμως κάποτε σταματούσαν να μεγαλώνουν σε ύψος, καθώς βλέπαμε ότι η επιπλέον άμμος που ρίχναμε κατέληγε στη δημιουργία μικρών αμμοστιβάδων διαφόρων μεγεθών (κάτι ανάλογο με τις χιονοστιβάδες), που τούς αποφόρτιζαν από την επιπλέον ποσότητα και τούς σταθεροποιούσαν. Κάποια δε φορά, άμα ήμασταν πολύ τυχεροί, θα παρατηρούσαμε η σταθεροποίηση αυτή να συμβαίνει με τη βοήθεια μιας μεγάλης και άκρως θεαματικής αμμοστιβάδας. Αυτά για μάς τους κοινούς θνητούς.

Γιατί κάποια παιχνιδιάρικα και περισσότερο φιλέρευνα πνεύματα όταν γύρισαν σπίτι τους από τις διακοπές θεώρησαν ότι το πράγμα είχε ζουμί και στρώθηκαν στους υπολογιστές τους για να το μελετήσουν περισσότερο. Τι θα μπορούσε να ρωτήσει ο οποιοσδήποτε; Να για παράδειγμα: πόσο μεγάλες μπορούν να γίνουν οι αμμοστιβάδες και ποια είναι η κατανομή τους; Πόσο συχνές είναι δηλαδή οι μεγάλες αμμοστιβάδες και πόσο οι μικρές; Υπακούουν οι κατανομές αυτές σε κάποιο νόμο; Αν ναι, τι ενδιαφέρον έχει και πού αλλού απαντάται στη φύση; Και άλλα πολλά που είναι όμως πιο τεχνικά και δεν θα μας απασχολήσουν σε πρώτη φάση.

Με απλά υπολογιστικά, αλλά χρονοβόρα, μοντέλα βρέθηκε ότι οι αμμοστιβάδες αποτελούν πρώτυπο σύστημα μιας ενδιαφέρουσας κατηγορίας φαινομένων που ονομάζονται κρίσιμα φαινόμενα (critical phenomena), για το λόγο ότι η προσθήκη ενός επιπλέον κόκκου άμμου στον λοφίσκο μπορεί να θέσει σε κίνηση μια ολόκληρη αμμοστιβάδα, η οποία βοηθάει στην απομάκρυνση μεγάλων ή μικρών ποσοτήτων άμμου μέχρις ότου ο λοφίσκος ηρεμήσει από το σοκ της κατολίσθησης και σταθεροποιηθεί. Πριν την έναρξη της αμμοστιβάδας λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ασταθή κρίσιμη κατάσταση, από την οποία με την προσθήκη ενός μόνο κόκκου όλα είναι δυνατόν να συμβούν. Το ότι ο λοφίσκος φτάνει σε αυτή την άκρως «επικίνδυνη» κατάσταση, στο «τσακ» δηλαδή, οφείλεται στη συνεργασία σε τοπικό επίπεδο πολλών κόκκων μαζί από διάφορα μέρη του λοφίσκου μέσα από άκρως μη-γραμμικές αλληλεπιδράσεις, τις οποίες τρέχα-γύρευε να προσδιορίσεις μικροσκοπικά.

Αν έχουμε την υπομονή και τα εργαλεία να μετράμε κάθε φορά το μέγεθος των αμμοστιβάδων και το κάνουμε αυτό πάρα πολλές φορές, βλέπουμε ότι η κατανομή τους ακολουθεί έναν απλό, αλλά πολύ σημαντικό νόμο, που αναπαρίσταται από την ακόλουθη εξίσωση:


Εδώ, N(S) είναι η συχνότητα εμφάνισης μια αμμοστιβάδας μεγέθους S. Ο εκθέτης (-τ) δείχνει πόσο γρήγορα πέφτει η κατανομή τους, δηλαδή πόσο μεγάλες αμμοστιβάδες περιμένουμε να συμβούν και πόσο συχνές θα είναι αυτές. Η γραφική παράσταση της προηγούμενης εξίσωσης φαίνεται στην επόμενη εικόνα,



όπου ο οριζόντιος άξονας δείχνει το μέγεθος μιας αμμοστιβάδας (S), το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Ο δε κάθετος δείχνει τη συχνότητα εμφάνισης N(S) ενός ορισμένου μεγέθους (S).

Η εν λόγω κατανομή που ονομάζεται Νόμος Ισχύος (Power Law), μάς λέει ότι τα μεγάλου μεγέθους φαινόμενα έχουν μικρότερη συχνότητα εμφάνισης, από τα μικρού μεγέθους τα οποία εμφανίζονται συχνότερα, ενώ θεωρητικά πάντα, η πιθανότητα είναι άπειρη για να μην εμφανιστεί καμιά αμμοστιβάδα. Σε αντίθεση όμως με άλλες φθίνουσες κατανομές, όπως οι εκθετικές ή οι κανονικές, αυτές δηλαδή που μοιάζουν με καμπάνα, οι συγκεκριμένες είναι πολύ τεμπέλικες, τείνουν δηλαδή στο μηδέν πολύ πολύ αργά, με αποτέλεσμα να δίνουν (αναλόγως του εκθέτη), μακριές έως πολύ μακριές ουρές, (η κίτρινη περιοχή), όπερ μεταφράζεται σε πολλές μεγάλες αμμοστιβάδες, έστω και με μικρή πιθανότητα για κάθε μιά τους. Και εδώ ακριβώς εστιάζεται η παραξενιά και το ενδιαφέρον τους.


ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ του ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ (Παραδείγματα)


Αν τώρα ψάξουμε ολόγυρά μας στη φύση και στον πραγματικό πολύπλοκο κόσμο μας, διαπιστώνουμε ότι τέτοιου είδους (Power Law) κατανομές είναι πάρα πολύ συχνές. Αποτελούν τον πλέον κοινό τόπο και είναι απίστευτο πώς καταφέρνουν και αναπαριστούν ένα σωρό φαινόμενα τελείως διαφορετικά μεταξύ τους.

Πρώτα πρώτα στην Οικονομία. Η διαπίστωση ότι η ανισότητα στην κατανομή εισοδήματος μπορεί να περιγραφεί από έναν τέτοιο νόμο ανήκει στον Pareto, ο οποίος είχε βρει χοντρά χοντρά ότι στην Ιταλία της εποχής του το 80% του πλούτου ανήκε στο 20% του πληθυσμού, και ότι στα άκρα της κατανομής, στα πολύ χαμηλά δηλαδή εισοδήματα γινόταν το αδιαχώρητο. Αυτό δείχνουν στην πραγματικότητα οι μακριές ουρές: μικρή πιθανότητα να συμβεί κάτι, αλλά αν αυτά τα «μικρά» είναι τόσα πολλά, αποκτούν σημαντικό βάρος ώστε να μην μπορούμε να τα αγνοήσουμε.

Επίσης οι διακυμάνσεις των μετοχών ακολουθούν παρόμοια κατανομή, όπως και οι οικονομικές κρίσεις. Τουτέστιν, οι μεγάλες κρίσεις δεν είναι ένα τόσο σπάνιο φαινόμενο, όσο θέλουμε να πιστεύουμε. Και εδώ οι μακριές, αλλά και παχιές ουρές βάζουν το χέρι τους.

Οι αγορές επίσης. Ενώ η μεγαλύτερη ποσότητα προϊόντων διακινείται από malls και department stores, εν τούτοις κάτω από την μακριά και παχιά ουρά της κατανομής βρίσκονται κρυμμένα πάρα πολλά προϊόντα που διακινούνται από πληθώρα μικρών επιχειρήσεων και τα οποία στο σύνολό τους συγκροτούν μια καθόλου αμελητέα αγορά.

Αν ξεφύγουμε από την οικονομία και πάμε στις πόλεις, βλέπουμε ότι η κατανομή που ακολουθούν αναλόγως του πληθυσμού τους υπακούει στον ίδιο ακριβώς νόμο. Υπάρχουν λίγες πόλεις με μεγάλο πληθυσμό, ενώ πάρα πολλές με μικρό.

Αλλά τα περισσότερα παραδείγματα έρχονται από την ίδια την φύση και κυρίως από φαινόμενα φυσικών καταστροφών! Πάρτε για παράδειγμα τους σεισμούς, τις κατολισθήσεις και τις πυρκαγιές. Το μέγεθός τους κατανέμεται όπως και το μέγεθος των αμμοστιβάδων βάσει της εξίσωσης που δείξαμε παραπάνω.

Πάμε τώρα στη βιολογία. Ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα και το προσδόκιμο ζωής σαν συνάρτηση της μάζας του σώματός τους πέφτουν στα χνάρια του ίδιου νόμου.

Στη γλωσσολογία, η κατανομή των λέξεων σε ένα κείμενο έχει πάλι την ίδια κατανομή.

Τα παραδείγματα που ανέφερα ως τα τώρα μπορεί να φαίνονται αυτονόητα και λογικά, αλλά δεν είναι ακριβώς έτσι. Και τούτο διότι υπάρχουν πάρα πολλές συναρτήσεις με τα ίδια ποιοτικά χαρακτηριστικά όπως αυτή που δείξαμε, αλλά σε καμία από αυτές δεν μπορούν να ταιριάξουν τα δεδομένα όλων των προηγούμενων και τόσο διαφορετικών περιπτώσεων.

Πέρα απ’ αυτά, υπάρχουν και άλλα πολλά περισσότερα παραδείγματα που μπορείτε να βρείτε στη βιβλιογραφία. Μοιραία, όμως ερχόμαστε στο ερώτημα τού γιατί η Φύση δείχνει τόση μεγάλη εύνοια στις κατανομές αυτές (Power Law). Έλα ντε!

Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ενιαία εξήγηση, γιατί κάθε σύστημα έχει τις ιδιαιτερότητές του και τον δικό του μυστικό μηχανισμό. Αλλά η ενιαία μακροσκοπική έκφραση δεν μπορεί παρά να υπαγορεύεται από κάτι το κοινό και το θεμελιώδες που ενυπάρχει στο υπόστρωμα όλων των προαναφερθέντων συστημάτων. Και αυτό το θεμελιώδες δεν είναι παρά η φρακταλική φύση του παράγωγου μηχανισμού. Για παράδειγμα, έχει αποδειχτεί μαθηματικά ότι ο ρυθμός μεταβολισμού στα έμβια όντα, που είναι ανάλογος της μάζας του σώματός τους υψωμένης στο 0.75, (~m^(0.75)), οφείλεται στο πλέγμα των αιμοφόρων αγγείων τα οποία συνιστούν ένα φρακταλικό αντικείμενο. Η συνάρτηση Power Law, από τη φύση της, έχει ενσωματωμένη την ιδιότητα τής αυτο-ομοιότητας, που χαρακτηρίζει ένα φράκταλ, διότι διατηρεί τη μορφή της σε όλες τις κλίμακες, (scale invariance).

Το δίδαγμα της παρούσας ιστορίας λοιπόν είναι ότι η πολυπλοκότητα στη Φύση μπορεί να εκφραστεί με έναν πολύ απλό νόμο, ο οποίος και μας υπενθυμίζει ότι στα θεμέλια κάθε πολύπλοκου συστήματος πιθανόν να κατοικοεδρεύει κάποιο πανέμορφο και παντοδύναμο φράκταλ!

Υ.Γ. Αν και καύσων, σάς ευχαριστώ για την προσοχή σας!!!

30 σχόλια:

vripol είπε...

Καί μετα απο ολα αυτά, περιμένεις να ξαπλώσουμε πάνω στούς αμμόλοφους;
Από πάνω η υπεριώδης ακτινοβολία να μας καψαλίζει,
και απο κάτω η άμμος να μας φρακταλίζει;

Swell είπε...

Καλησπέρα Cynical,

Ο Νόμος Ισχύος (Power Law), που μάς λέει ότι τα μεγάλου μεγέθους φαινόμενα έχουν μικρότερη συχνότητα εμφάνισης, ακυρώνεται στην Ελλάδα. Αν ίσχυε, δεν θα είχαμε τόσους πολλούς και τόσο μεγάλους μαλάκες.

Και τώρα στο σοβαρό κομμάτι της ανάρτησής σου. Τους ωραιότερους αμμόλοφους τους έχω δει στην παραλία της Αμμοπής στην Kάρπαθο. Mας έπαιρνε πάνω από δύο λεπτά, να κουτρουβαλήσουμε από την κορυφή στη βάση. Αυτά.

cynical είπε...

καλως τονα τον Βριπολίδη!

μη μου πεις οτι φοβασαι τα φρακταλς! Αυτά δεν τρώνε! Επιπλέον, το πνευμα της ανάρτησης είναι "παιχνιδια με τους αμμολοφους", όχι "ξάπλες στους αμμόλοφους".

cynical είπε...

καλησπερα @Swell

εν μερει εχεις δικαιο, αλλά με μια προσεκτικότερη αναγνωση βλέπουμε ότι οι κατανομες αυτες αφορουν σε πολύπλοκα συστήματα. Τωρα οι μαλάκες είναι πολύπλοκοι; Στους απλοικους θα τους κατέτασσα.

Γιαυτο, σουελ, δεν βρηκα κανεναν αμμολοφο στην καρπαθο. Απο τις πολλες τσουληθρες προκαλεσες αμμοστιβαδες και τους εξαφανισες!

de profundis είπε...

Ειναι κακό στην άμμο να χτίζεις παλάτια,που λέει και το λαικό άσμα.

Αν το ηξερα οτι θα σας έβαζα σε τέτοιο κόπο καλόκαιριάτικα δεν θα έπαιζα με το κουβαδάκι μου ,σας υπόσχομαι να μην το ξανακάνω για να μπορέσετε και σεις να κάνετε επιτέλους διακοπές.

VaD είπε...

Πάντως χωρίς πολλές θεωρίες,μονο με το ξέσπασμα του ανέμου της ερήμου που εκεί κατω στο Χαρτούμ ονομάζουν χαμπούμπ έτυχε να δω στην έρημο αμμολόφους να σχηματίζονται και να διαλύονται εν ριπή οφθαλμού...

cynical είπε...

de Profundis,

δε σε βλεπω να διατυπωνεις αποριες. Ολο στο παιχνιδι τον εχεις το νου σου. Οταν ερθουν οι εξετασεις να δω πού θα πας να κρυφτεις!

cynical είπε...

Καλησπερα @VaD,

To ειδα το συννεφο σε φωτογραφιες που ειχες αναρτησει. Πολυ εντυπωσιακο. Ποσο ψηλοι ηταν περιπου οι αμμολοφοι; (Για να τεσταρω τη θεωρια).

vegasthedog είπε...

Και που να πάτε και στα δίκτυα. Εκεί να δείτε power low distributions. Αφού οι μαθηματικοί που επένδυσαν όλη τους τη ζωή στις κανονικές κατανομές των Erdos-Renyi παλεύουν να βρουν πώς να τις αναμείξουν για να προσομοιάσουν την πραγματικότητα. Μερικοί θα θυμώσουν, αλλά δεν πειράζει...ξύδι. :)

Σας προτείνω, λοιπόν, δίπλα σε αμμόλοφους το "Linked: How Everything Is Connected to Everything Else and What It Means" του Barabasi. Νομίζω θα σας αρέσει και θα το ρουφήξετε σε λίγες ώρες. Ότι πρέπει για ένα απόγευμα!

cynical είπε...

Γεια σου Vegasthedog,

Ναι ναι, και τα δικτυα και το www και οι γαλαξιες, και ο εγκεφαλος, ολα μαζι στο Power Law! Πολυ εντυπωσιακο!

Η φυσικη αυτη ειναι εντελως καινουργια, δυο δεκαετιες περιπου. Και οι κατανομες αυτες βασιζονται μαλλον σε τοπικες, ισχυρες μη-γραμμικες αλληλεπιδρασεις σε χωρους φρακταλ. Πολυπλοκοτητα χωρις μη-γραμμικοτητα δεν γινεται. Τι να σου κανουν οι κανονικες κατανομες. Αυτες προυποθετουν απουσια αλληλεπιδρασεων. Στη φυση αυτο ειναι σπανιο.

σ' ευχαριστω για το βιβλιο. Οντως φαινεται ενδιαφερον. Το κοιταξα στο amazon. Τωρα διαβαζω ενα παρομοιο "Complexity: a guided tour" by Melanie Mitchell που μου το ειχε συστησει ενας επισκεπτης. Ειναι απλο και πολυ καλογραμμενο.

vegasthedog είπε...

Χμ, το βιβλίο μου φάνηκε εξαιρετικά ενδιαφέρον και το αγόρασα.

Όσο για τα δίκτυα το preferential attachment των νέων κόμβων είναι μία αιτία που προκαλεί scale free networks ή αλλιώς complex networks. Δηλαδή οι νέοι κόμβοι δείχνουν να προτιμούν κόμβους που έχουν τις περισσότερες συνδέσεις. Σε ένα στοχαστικό περιβάλλον πάντα. Το αποτέλεσμα μικρή διάμετρος (small world phenomenon), κατανεμημένη δομή (πολλά κέντρα που συναποφασίζουν) και άλλα πολλά.

Όλα αυτά μοιάζουν τόσο εντυπωσιακά απλά και όταν ξεκινάς να τα προσεγγίζεις έρχεσαι αντιμέτωπος με απανωτά αναπάντητα ερωτήματα και άλυτα προβλήματα.

Την καληνύχτα μου.

Greek Rider είπε...

Κάποτε που έψαχνα και εγώ τη φύση των σχηματισμών του χάους, καθώς και άλλα σχετικά, είχα πέσει πάνω στον Stephen Wolfram.

Δεν μπόρεσα όμως να βγάλω ασφαλή συμπεράσματα. Αλλά πολλά θέματα κοινά στους φυσικούς τα εξέτασα για πρώτη φορά τότε.

http://www.wolframscience.com/nksonline/section-8.8

Σε επόμενη σελίδα του βιβλίου του (που δεν μπόρεσα να τη βρω στο ίντερνετ ελεύθερα) αναφέρει τη διάψευση της (ισχυρής τουλάχιστον έκδοσης) της Efficient Market Hypothesis ως σχετικό παράδειγμα.

Πολλά από αυτά κρίνω ότι και νόημα έχουν και σωστά είναι και λειτουργούν στην πράξη.

Έχουν μεγάλο ενδιαφέρον για τις οικονομικές προβλέψεις.

Είναι εντυπωσιακό ότι πλέον σε μεγάλα πανεπιστήμια όπως το ΜΙΤ υποψήφιοι διδάκτορες και καθηγητές χρηματοοικονομικής έχουν πρώτα, πρώτο διδακτορικό στη φυσική...

Εκεί βγαίνει μια άκρη που συμφωνεί και από τελείως άλλη πλευρά και με την εντελώς νέα προσέγγιση της συμπεριφοριστικής ψυχολογίας στην οικονομία που προσπαθεί να εξηγήσει (με πειραματικούς τρόπους) πώς επηρεάζεται η ανθρώπινη συμπεριφορά από παράγοντες που οι οικονομολόγοι δεν μπορούν ακόμη να δουν και να υπολογίζουν και μόνο οι φυσικοί θα μπορούσαν να μοντελοποιήσουν.

Θανασης Ξ. είπε...

Όπως θα καταλάβατε, πολιτικός είναι εκείνος που παίρνει τις ψήφους της κίτρινης περιοχής της κατανομής για να εξυπηρετήσει τα συμφέροντα της πράσινης !!!
Λοιπόν, cynical, τώρα μας οφείλεις και μια ανάρτηση, πάλι για την άμμο, αλλά αυτή τη φορά κάτι πιό σε ..κουβαδάκια, πυργάκους κλπ κλπ.

Στέργιος είπε...

Φυσικός δεν είμαι ούτε μαθηματικός. Είπα να το παίξω πρωτάρης πειραματιστής!

Πρώτα είπα να θερμάνω πολύ έναν λοφίσκο άμμου να γίνει ακριβώς το αντίθετό του, άκαμπτο γυαλί και ο κόσμος να μαρμαρώσει. Μπα, δε μου φάνηκε ωραίος ο κρυστάλινος ακίνητος κόσμος.

Μετά είπα να αφαιρέσω τη βαρύτητα να δω τι θα συμβεί. Τρόμαξα όταν κατάλαβα ότι όλα θα σκορπούσαν σε όσους κόκκους συνθέτονταν άρα κανένας κούπος ή αμμόλοφος δεν θα υπήρχε. Πως θα ζήσουμε χωρίς άμμο και αμμόλοφους;

Τέλος, απογοητευμένος, μετέτρεψα την ανάρτηση σε ένα κούπο ξανθής άμμου και της έριξα από πάνω έναν μαύρο κόκκο. Ολόκληρος ο κούπος μεταβλήθηκε! Μπήκε το μαύρο πρόβατο, η ανάρτηση βρέθηκε σε.. «κρίσιμη κατάσταση» και όλα τα νούμερά της αλλάζουν, και αλλοιώνονται, άρα άνθρακες ο θησαυρός ή γράψαμε τ΄ όνομά της στην άμμο….

cynical είπε...

Καλημερα vegasthedog,

με τα δικτυα δεν εχω ασχοληθει καθολου. Το βιβλιο που σου ανεφερα τα πραγματευεται, αλλα σε επομενα κεφαλαια, οποτε σε λιγακι θα παρω μια ιδεα. Και ισως γραψω κατι.

Παντως σημερα που κοιταξα το τελευταιο τευχος του περιοδικου "Skeptic",ειδα με μεγαλη μου εκπληξη οτι κανει review το βιβλιο "Link:" που προτεινες μολις χθες. Φοβερη σύμπτωση!

Xavier είπε...

Ωραίο θέμα, αλλά λίγο βαρύ. Ξεκινάει δροσερά με παραλίες και αμόλοφους και σε ξεγελάει...

cynical είπε...

καλημερα @Rider,

νομιζω (οχι για να το παινευτω!) ότι οι φυσικοι ειναι οι πλεον καταλληλα εκπαιδευμενοι για να μοντελοποιησουν τις αγορες, αν θεωρησουν τους ανθρωπους σαν ενα στατιστικο συνολο με αλληλεπιδρασεις, οπως συμβαινει και αναμεσα στα μορια ενος υγρου ή στερεου.

Τα κυψελιδικα αυτοματα (πρωτος τα εισηγαγε ο Wolfam) ενδεικνυνται διοτι παιρνουν αλληλεπιδρασεις γειτονων με ενα απλο νομο. Και τα sandpiles τα αντιμετωπιζεις με ενα παρομοιο "κυψελιδικο αυτόματο". Υπαρχουν και αναλυτικα στοχαστικα μοντελα αλλα ειναι πιο δυσκολο απ αυτα να πλησιασεις πραγματικες καταστασεις.

Εχει πολυ ενδιαφερον η ιστορια παντως.

cynical είπε...

Γεια σου Θαναση Ξ.

Φοβερή η ερμηνεία σου, τής κατανομής!!

οσο για το πυργακια, οταν παω διακοπες και πειραματιστω μαζι τους...Δεν εχω προσφατες παραστασεις!

cynical είπε...

Καλημερα Xavier,

λενε ότι για καθε εξισωση που βαζεις σε ενα βιβλιο χανεις καποιο συγκεκριμενο ποσοστο αναγνωστων. Ιδου το παραδειγμα!

Το δεύτερο μερος ομως δεν εχει καμια εξισωση. Για να ξαναπροσπαθησε, αλλιως τον Σεπτεμβριο με τον κηδεμόνα σου!

cynical είπε...

Σε περίεργα πειραματα μπλεκεις Στεργιο!,
Τι θα έλεγε άραγε ο Μαρξ για τους αμμολοφους; Βοηθουν στην επανασταση ή ειναι αποτελουν παιχνιδι στα χερια της αντιδρασης; Ιδου!

VaD είπε...

Δεν ειχα μαζί μου το μέτρο:),αλλά η κινούμενη άμμος(στην έρημο πάντα,όχι στην πόλη)πολύ ευκολα μεταβάλλει το τοπίο...

Χαιρε Εδω είπε...

Πάντως, αι μεγαλύτεραι στην Ελλάδα - ως αμμόλοφοι αυτοπροσώπως - ευρίσκονται στις Άμδες, στην Βορειοδυτική ακτή της Λήμνου...
Και μάλιστα στα σχετικά ενδότερα και όχι ακριβώς παραλιακά...
Σε clusters...

cynical είπε...

Στο περίπου, θελω VaD,
σαν το μποι σου, πιο μεγαλες, μιο μικρες;

cynical είπε...

Καλημέρα Χαίρε Εδώ! και χαιρετώ!

θελεις να πεις οτι η κατανομη των clusters ειναι Power Law?

Αν ναι προκειται για καινουργιο νομο τοτε!

Ναπoλέων είπε...

Παρότι όχι άσχετος με χάος και fractals έμαθα κάμποσα καινούρια τόσο από το άρθρο σου όσο και από ωρισμένα σχόλια.
Σέ, σάς ευχαριστώ.

Διαφωνώ ριζικά {...κάθετα, οριζόντια διαγώνια κλπ} με τον/την Swell:
Μπορεί να του/της φαίνονται πολλοί οι ΜΕΓΑΛΟΙ μ......ς, θα καταλάβει όμως ότι ισχύει ο Power Law, αν αναλογιστεί τον πολύ ΜΕΓΑΛΟ αριθμό των ΜΙΚΡΩΝ μ........ων που στηρίζουν τους μεγάλους.

Για τον/την ...σκυλοVegas αναρωτιέμαι αν συνειδητοποίησε ότι με τα ωραία που έγρα..., πληκτρολόγησε τλςπντν..., δείχνει το δρόμο γαι την "τέλεια" δημοκρατία του «the small is beautiful».

Καλό Καλοκαίρι.
αγάπη - αφοπλισμός - ειρήνη
Ναπολέων

Ναπoλέων είπε...

Υ.Γ.
Θα βρώ και τα βιβλία που συστήνετε και θα σάς πω.

α-α-ε
Ν.

cynical είπε...

Γεια σου Ναπολέοντα

πού πάς; Θα γραψουμε κι αλλα ωραια, για άλλες κατανομες επισης!

Οσο για τους πολλους μικρους μαλακες που τροφοδοτουν τους λιγους μεγαλους εχεις απολυτο δικαιο και εξ αυτου φαινεται πως εχεις κατανοησει πληρως τον Power Law.

Kαλο Καλοκαιρι και σε σενα! (Σκλίβανη;;)

airgood@gmail.com είπε...

Aν η άμμος είναι το πεδίο Μνήμης
αίολος είν' ο επεξεργαστής
γόνιμο το νερό της Λήθης

blackholegr είπε...

Τα συγχαρητήριά μου!!!! Υπέροχο άρθρο και να φανταστείς οτι δεν του πολυέδωσα σημασία στην αρχή. Mathematics are the language of nature που ακουγόταν και στην ταινία π. Και φυσικά τα μαθηματικά (αλήθεια τι θα ήταν χωρίς τη φυσική ;;; - ως φυσικός θα πρέπει να παινέψω το σπίτι μου) είναι η ίδια μας η ζωή !!!!

cynical είπε...

Γεια σου συναδελφε Blackhole,

θα τολμησω να πω οτι τ αμαθηματικα χωρις τη φυσικη θα ηταν σαν ενα εδειο σακκι. Εδω μπαινει βεβαια η φιλοσοφια για τη φυση των μαθηματικων και στο κατα ποσο η φυση μαθηματικοποιειται, αλλα ειναι αλλη ιστορια.