Ένας Τυχαίος Περίπατος

Έστω ότι αυτή τη στιγμή είστε ήδη σε διακοπές, έχετε κάνει το μπανάκι σας, ρίξατε τον απογευματινό σας υπνάκο, φάγατε την αστακομακαρονάδα σας, και κατά τα μεσάνυχτα σκάτε μύτη στο πρώτο μπαράκι. Μετά από καμιά ώρα στο δεύτερο, μετά στο τρίτο και κάποια στιγμή αποκαμωμένοι και με καμιά δεκαριά σφηνάκια στο ντελικάτο στομάχι σας αποφασίζετε να την κάνετε κατά δωμάτιο μεριά. Δωμάτιο; Ποιο δωμάτιο; Εδώ δωμάτιο, εκεί δωμάτιο, πού είναι το δωμάτιο; Έλα ντε! Άδικα κοπιάζετε. Γιατί για σήμερα, δωμάτιο γιόκ. Και θα σας εξηγήσω αμέσως τι εννοώ.

Ας υποθέσουμε, για να απλουστεύσουμε την κατάστασή σας επειδή τα έχετε κοπανήσει, ότι κινείστε σε έναν μονοδιάστατο κόσμο και ότι θέλετε να πάτε από το σημείο Μ που είναι το μπαρ, στο σημείο Δ που είναι το δωμάτιο. Χάριν ευκολίας ας υποθέσουμε ότι το μπαρ (σημείο Μ) είναι στο μηδέν, και ότι το δωμάτιο (σημείο Δ) βρίσκεται (n) βήματα μακριά. Επίσης, επειδή είστε παραζαλισμένοι από το ποτό, που ενδεχομένως θα ήταν και μπόμπα, κινείστε με τυχαία βήματα, ακατάστατα και στα κουτουρού, άλλοτε προς τα δεξιά και άλλοτε προς τα αριστερά του Μπαρ, πάντα πάνω στον άξονα Μπαρ-Δωμάτιο, έχοντας όμως την ίδια πιθανότητα το κάθε σας βήμα να είναι είτε προς τη μια είτε προς την άλλη κατεύθυνση. Και ας δώσουμε μια τιμή στην πιθανότητα αυτή, ίση με 0.5.

Αφού θέσαμε το πρόβλημα, ας αναρωτηθούμε, εμείς οι εξωτερικοί παρατηρητές που χαζεύουμε και χασκογελάμε με τα καμώματά σας, ποια είναι η πιθανότητα να φτάσετε στο δωμάτιό σας που απέχει, ας πούμε 500 βήματα από το μπαρ σε ευθεία γραμμή. Δηλαδή, πόσα βήματα θα χρειαστείτε να κάνετε, (μαζί με τα πισωγυρίσματα), μέχρι να το φτάσετε;

Αν κάνετε συνολικά 10,000 βήματα, τότε δεν θα φτάσετε ποτέ στο δωμάτιό σας, διότι η πιθανότητα βγαίνει ακριβώς 0. Αν κάνετε τώρα 100,000 βήματα, τότε η πιθανότητα για να διανύσετε απόσταση 500 βημάτων είτε στα αριστερά είτε στα δεξιά του μπαρ, αυξάνει στο 0.286. Στα 200,000 βήματα, η πιθανότητα να διανύσετμε την ίδια απόσταση, ανεβαίνει στο 0.53. Στα 1,000,000 βήματα η πιθανότητα γίνεται 0.88, και στα 10,000,000, 0.99. Επειδή όμως θέλετε να πάτε μόνο προς τη μια κατεύθυνση, εκεί που βρίσκεται το δωμάτιό μας, θα πρέπει οι πιθανότητες να μειωθούν κατά το ήμισυ. Αν υποθέσουμε ότι κάθε βήμα είναι περίπου μισό μέτρο, τότε για να έχετε σοβαρές πιθανότητες να φτάσετε στο δωμάτιο, στα 250 μέτρα, θα πρέπει να περπατήσετε 5,000 χμ, δηλαδή τόσα όσα χρειάζονται για να φτάσετε στο Λονδίνο και βάλε. Δεν συμφέρει λοιπόν το πόδι, γιαυτό πάρτε ένα ταξί για μεγαλύτερη οικονομία.

Το περίεργο είναι ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό των βημάτων που θα κάνετε, η πιθανότητα να μην διανύσετε καμιά καθαρή απόσταση και να παραμείνετε αιωνίως στο μπαρ, παρά τα άσκοπα γυρίσματά σας, είναι πάντα ίση με 1 και αυτή είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει.

Έτσι εξηγείται και το γεγονός, πώς όταν χαθούμε στο δάσος και προσπαθούμε να βρούμε το μονοπάτι, έχουμε πάντα την αίσθηση ότι περνάμε και ξαναπερνάμε από το ίδιο σημείο απ’ όπου ξεκινήσαμε. Είναι γιατί το σημείο αφετηρίας έχει την μεγαλύτερη επισκεψιμότητα.

Οι παραπάνω πιθανότητες να βρεθούμε σε μια απόσταση (n) από την αφετηρία μας ύστερα από ένα αριθμό (Ν) διακριτών βημάτων δίνονται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία στην ουσία είναι η κανονική, (Γκαουσιανή κατανομή) για συνεχείς τιμές της απόστασης. Αμφότερες είναι συμμετρικές ως προς ένα σημείο, (εδώ διαλέξαμε το μηδέν), και το πόσο στενές ή φαρδιές είναι εξαρτάται από τον αριθμό των βημάτων που θα περπατήσουμε.

Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε την αλγεβρική εξίσωση, μαζί με τη γραφική παράσταση μιας γκαουσιανής κατανομής.

Ενώ οι Power Law κατανομές που είδαμε σε προηγούμενη ανάρτηση για τους αμμόλοφους, κρύβουν από πίσω τους ένα fractal, οι Γκαουσιανές συμμετρικές κατανομές κρύβουν εντελώς ΤΥΧΑΙΕΣ και ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ μεταβλητές. Στα fractals αντιθέτως οι μεταβλητές βρίσκονται σε πολύ ισχυρή αλληλεπίδραση.

Ένα πολύ κεντρικό θεώρημα της Φυσικής (central limit theorem), μάς λέει ότι η κατανομή μεταβλητών, που οι τιμές τους διαμορφώνονται από το ΑΘΡΟΙΣΜΑ πολλών τυχαίων φαινομένων, είναι Γκαουσιανή. Στην προκειμένη περίπτωση αυτό που κατανέμεται είναι ο αριθμός των «δρόμων», (paths), που ακολουθούμε ώστε στο τέλος να διανύσουμε κάποια συγκεκριμένη απόσταση (n). Επειδή κάθε «δρόμος» όμως αποτελείται από το άθροισμα Ν ανεξάρτητων βημάτων, στο τέλος η κατανομή που περιμένουμε να πάρουμε είναι όντως η Γκαουσιανή.

Αν η Φύση συμπαθεί τις Power Law κατανομές, με τις Γκαουσιανές είναι τρελά ερωτευμένη. Πολυάριθμα φαινόμενα γύρω μας μπορούν να εξηγηθούν με το μοντέλο του «τυχαίου περιπάτου», ή άλλως «Random Walk». Αλλά περί αυτού κάποια άλλη φορά. Πιθανόν και σύντομα...