Παρασκευή, 17 Ιουλίου 2009

Ένας Τυχαίος Περίπατος


Έστω ότι αυτή τη στιγμή είστε ήδη σε διακοπές, έχετε κάνει το μπανάκι σας, ρίξατε τον απογευματινό σας υπνάκο, φάγατε την αστακομακαρονάδα σας, και κατά τα μεσάνυχτα σκάτε μύτη στο πρώτο μπαράκι. Μετά από καμιά ώρα στο δεύτερο, μετά στο τρίτο και κάποια στιγμή αποκαμωμένοι και με καμιά δεκαριά σφηνάκια στο ντελικάτο στομάχι σας αποφασίζετε να την κάνετε κατά δωμάτιο μεριά. Δωμάτιο; Ποιο δωμάτιο; Εδώ δωμάτιο, εκεί δωμάτιο, πού είναι το δωμάτιο; Έλα ντε! Άδικα κοπιάζετε. Γιατί για σήμερα, δωμάτιο γιόκ. Και θα σας εξηγήσω αμέσως τι εννοώ.

Ας υποθέσουμε, για να απλουστεύσουμε την κατάστασή σας επειδή τα έχετε κοπανήσει, ότι κινείστε σε έναν μονοδιάστατο κόσμο και ότι θέλετε να πάτε από το σημείο Μ που είναι το μπαρ, στο σημείο Δ που είναι το δωμάτιο. Χάριν ευκολίας ας υποθέσουμε ότι το μπαρ (σημείο Μ) είναι στο μηδέν, και ότι το δωμάτιο (σημείο Δ) βρίσκεται (n) βήματα μακριά. Επίσης, επειδή είστε παραζαλισμένοι από το ποτό, που ενδεχομένως θα ήταν και μπόμπα, κινείστε με τυχαία βήματα, ακατάστατα και στα κουτουρού, άλλοτε προς τα δεξιά και άλλοτε προς τα αριστερά του Μπαρ, πάντα πάνω στον άξονα Μπαρ-Δωμάτιο, έχοντας όμως την ίδια πιθανότητα το κάθε σας βήμα να είναι είτε προς τη μια είτε προς την άλλη κατεύθυνση. Και ας δώσουμε μια τιμή στην πιθανότητα αυτή, ίση με 0.5.

Αφού θέσαμε το πρόβλημα, ας αναρωτηθούμε, εμείς οι εξωτερικοί παρατηρητές που χαζεύουμε και χασκογελάμε με τα καμώματά σας, ποια είναι η πιθανότητα να φτάσετε στο δωμάτιό σας που απέχει, ας πούμε 500 βήματα από το μπαρ σε ευθεία γραμμή. Δηλαδή, πόσα βήματα θα χρειαστείτε να κάνετε, (μαζί με τα πισωγυρίσματα), μέχρι να το φτάσετε;

Αν κάνετε συνολικά 10,000 βήματα, τότε δεν θα φτάσετε ποτέ στο δωμάτιό σας, διότι η πιθανότητα βγαίνει ακριβώς 0. Αν κάνετε τώρα 100,000 βήματα, τότε η πιθανότητα για να διανύσετε απόσταση 500 βημάτων είτε στα αριστερά είτε στα δεξιά του μπαρ, αυξάνει στο 0.286. Στα 200,000 βήματα, η πιθανότητα να διανύσετμε την ίδια απόσταση, ανεβαίνει στο 0.53. Στα 1,000,000 βήματα η πιθανότητα γίνεται 0.88, και στα 10,000,000, 0.99. Επειδή όμως θέλετε να πάτε μόνο προς τη μια κατεύθυνση, εκεί που βρίσκεται το δωμάτιό μας, θα πρέπει οι πιθανότητες να μειωθούν κατά το ήμισυ. Αν υποθέσουμε ότι κάθε βήμα είναι περίπου μισό μέτρο, τότε για να έχετε σοβαρές πιθανότητες να φτάσετε στο δωμάτιο, στα 250 μέτρα, θα πρέπει να περπατήσετε 5,000 χμ, δηλαδή τόσα όσα χρειάζονται για να φτάσετε στο Λονδίνο και βάλε. Δεν συμφέρει λοιπόν το πόδι, γιαυτό πάρτε ένα ταξί για μεγαλύτερη οικονομία.

Το περίεργο είναι ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό των βημάτων που θα κάνετε, η πιθανότητα να μην διανύσετε καμιά καθαρή απόσταση και να παραμείνετε αιωνίως στο μπαρ, παρά τα άσκοπα γυρίσματά σας, είναι πάντα ίση με 1 και αυτή είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει.

Έτσι εξηγείται και το γεγονός, πώς όταν χαθούμε στο δάσος και προσπαθούμε να βρούμε το μονοπάτι, έχουμε πάντα την αίσθηση ότι περνάμε και ξαναπερνάμε από το ίδιο σημείο απ’ όπου ξεκινήσαμε. Είναι γιατί το σημείο αφετηρίας έχει την μεγαλύτερη επισκεψιμότητα.

Οι παραπάνω πιθανότητες να βρεθούμε σε μια απόσταση (n) από την αφετηρία μας ύστερα από ένα αριθμό (Ν) διακριτών βημάτων δίνονται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία στην ουσία είναι η κανονική, (Γκαουσιανή κατανομή) για συνεχείς τιμές της απόστασης. Αμφότερες είναι συμμετρικές ως προς ένα σημείο, (εδώ διαλέξαμε το μηδέν), και το πόσο στενές ή φαρδιές είναι εξαρτάται από τον αριθμό των βημάτων που θα περπατήσουμε.

Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε την αλγεβρική εξίσωση, μαζί με τη γραφική παράσταση μιας γκαουσιανής κατανομής.


Ενώ οι Power Law κατανομές που είδαμε σε προηγούμενη ανάρτηση για τους αμμόλοφους, κρύβουν από πίσω τους ένα fractal, οι Γκαουσιανές συμμετρικές κατανομές κρύβουν εντελώς ΤΥΧΑΙΕΣ και ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ μεταβλητές. Στα fractals αντιθέτως οι μεταβλητές βρίσκονται σε πολύ ισχυρή αλληλεπίδραση.

Ένα πολύ κεντρικό θεώρημα της Φυσικής (central limit theorem), μάς λέει ότι η κατανομή μεταβλητών, που οι τιμές τους διαμορφώνονται από το ΑΘΡΟΙΣΜΑ πολλών τυχαίων φαινομένων, είναι Γκαουσιανή. Στην προκειμένη περίπτωση αυτό που κατανέμεται είναι ο αριθμός των «δρόμων», (paths), που ακολουθούμε ώστε στο τέλος να διανύσουμε κάποια συγκεκριμένη απόσταση (n). Επειδή κάθε «δρόμος» όμως αποτελείται από το άθροισμα Ν ανεξάρτητων βημάτων, στο τέλος η κατανομή που περιμένουμε να πάρουμε είναι όντως η Γκαουσιανή.

Αν η Φύση συμπαθεί τις Power Law κατανομές, με τις Γκαουσιανές είναι τρελά ερωτευμένη. Πολυάριθμα φαινόμενα γύρω μας μπορούν να εξηγηθούν με το μοντέλο του «τυχαίου περιπάτου», ή άλλως «Random Walk». Αλλά περί αυτού κάποια άλλη φορά. Πιθανόν και σύντομα...

26 σχόλια:

Κ.Κ.Μοίρης είπε...

αν πάω εγώ διακοπές να μου τρυπήσετε τη μύτη..

Swell είπε...

Καλημέρα Cynical, πήγαινε διακοπές κοπέλα μου άμεσα! Πήγαινε να ξεκουραστείς και να ξελαμπικάρει το μυαλό. Τα πράγματα είναι σοβαρά, μην το αμελήσεις. Πήγαινε διακοπές τώρα!

Greek Rider είπε...

Cynical καλημέρα!

Πιστεύω ότι συχνότατα εμφανίζονται οι λεγόμενοι ελκυστές που χαλάνε την τυχαιότητα ή τουλάχιστον έτσι νομιζουμε...

Για παράδειγμα, ενώ κάποιος είναι τύφλα στο μεθύσι ξέρει τη γενική κατεύθυνση που είναι το σημείο Δ, έστω πολύ θολά. Ακόμη και αν δεν καταφέρει να βρει το σημείο Δ η κατεύθυνσή του δεν θα είναι εντελώς τυχαία. Ο ελκυστής στην προκειμένη περίπτωση ήταν το ένστικτο της κατεύθυνσης που έχουν υπερανεπτυγμένο π.χ. τα περιστέρια ή οι μέλισσες αλλά διαθέτουν και οι άνθρωποι ακόμη και όταν μεθάνε.

Πάντως με αυτά που γράφεις σε λίγο σε βλέπω σε κανένα dealing room τραπεζών ως διαχειρίστρια...

grsail είπε...

Έχω επαληθεύσει πειραματικά (single malt only pls) τα συμπεράσματά σου επανειλημμένως !
Οι οινοπνευματώδεις ελκυστές στους οποίους αναφέρεται ο αγαπητός GR μπορούν να είναι γνωστοί μόνον «εξ’ ιδίων» άρα η ... πειραματική βάση διευρύνεται :-))

cynical είπε...

Γεια σας κ. Κ.Κ.Μοίρη,

αν προσεχετε τα σφηνάκια σας δεν πρόκειται να πάθετε τίποτα στις διακοπές. Υπάρχει και η αλλη λύση, να στρατοπεδεύσετε στην αυλή του μπαρ...

hristos_g είπε...

Πολυάριθμα φαινόμενα γύρω μας μπορούν να εξηγηθούν με το μοντέλο του «τυχαίου περιπάτου»

Εδώ σε θελω cynical !
Περιμένω τα παραδείγματά σου.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα είχε ένας παραλληλισμος της κατανομής του Gauss με την πολιτική

cynical είπε...

Καλημερα Swell,

Υπομονη, λίγος καιρος εμεινε ακομα. Ελπίζω να βρω το δρομο!

Stazybο Hοrn είπε...

Βαδίζω και παραμιλώ...

cynical είπε...

Καλημερα @Rider,

οι ελκυστες για να εμφανιστουν χρειαζονται non-linearities. Σε ενα random walk δεν υπάρχουν τετοια ζωα. Ειναι οπου σε βγαλει η ακρη. Αλλα σπανια υπάρχει τετοια randomness οπου τα βηματα ειναι τυχαια και το ενα ανεξαρτητο απο το αλλο. Αν το που θα πας τη μια φορά εξαρταται απο το πού ήσουν τις προηγούμενες μια δυο τρεις στιγμες, τοτε χαλαει η σουπα, οποτε εκει μπορεις να περιμενεις πολυπλοκοτητα.
Περα απο τα random walks υπαρχουν και οι Levy flights, οπου ξαφνικά το σωματιδιο εκει που είχε καποιον τυχαιο βηματισμο, σταθερου μήκους, ξαφνικα απλώνει την αριδα του και βρισκεται πολύ μακρυτερα, πάντα τυχαια. Δηλαδη μεγαλώνει το βημα του.

Διαβαζα κατι λιγα προσφατα για τις αποικιες μυρμηγκιων. Δηλ. για το πώς κατορθωνουν τοσα εκατομμυρια να ζουνε μια τοσο οργανωμενη ζωη χωρις να υπάρχει καποια κεντρικη διοικηση. Δυο ειναι οι οργανωτικοι παραγοντες, οι φερομονες που κανουν το ενα μηρμυγγι να ακολουθει το κοπαδι και το αλλο η τυχαιες διαδρομες. Ειναι βλεπεις πολλα, οποτε καποια πανε στα κουτουρου και δεν βρισκουν τιποτα, αλλα ομως θα τυχει να βρουνε καποιο μερος με τροφη, οποτε θα ξαναπανε, και τοτε καποια αλλα θα ακολουθησουν εκει που πανε τα πολλα.

Η φυση οργανωνεται χωρις κεντρικη διοικηση και ειναι ενδιαφερον να δουμε πώς το κατορθωνει...

Τα random walk μοντελα εχουν χρεωκοπήσει πια στις τραπεζες. Βουρ στα στοχαστικα!!
Αμα βρω ακρη με τα παραγωγα, Rider θα σας ανακοινωσω το μυστικο!

cynical είπε...

Γεια σου @grsail,

Το μοντελο δουλευει με ολα τα οινοπνευματωδη. Απαραιτητη αρχικη συνθηκη ειναι να γινεις "στουπί".
Φανταζομαι οτι το δωματιο απο μονο του αδυνατει να λειτουργησει σαν "ελκυστης", παρα μονο αν υπαρχει κατι το πολυ ενδιαφερον εκει μεσα..

cynical είπε...

Γεια σου hristos_g,

ειναι ενα απο τα επομενα ποστ, για το πού απαντωνται κανονικες (γκαουσιανες) κατανομες.

Πώς συναρταται η κατανομη Gauss με την πολιτικη; Δωσε μου κανενα hint...

cynical είπε...

καλημερα Stazybo Ηorn

γιατι δεν μού το ανοίγει το demo ο υπολογιστης;;

Stazybο Hοrn είπε...

Java Virtual Machine θέλει απλώς. Μια χαρά παίζει σε Firefox, τώρα είδα και σε IE, και σε Safari for Windows... Τρέχει η Java στο σύστημά σου;

cynical είπε...

Stazybo,

έπαιξε τώρα! thanks.

Prokopis Doukas είπε...

Πω πω, η φυσική που έχω ξεχάσει...

(Υπάρχει βεβαίως και η λύση να μην πίνουμε και πολλά σφηνάκια "σούπερ-αμόλυβδη")...

Καλές διακοπές - όποτε! :-)

hristos_g είπε...

Λοιπόν:Τα σημεία τοποθετούνται μέσα στο συστημα των δύο αξόνων,φυσικα τυχαία.Ενώ , σχεδον ποτέ, δεν συμπιπτουν με την καμπύλη στην ουσία την ορίζουν.

Αν τωρα, πουμε οτι καμπύλη ειναι ο δρόμος που τραβάει μια κοινωνία
και σημεία ειναι οι διάφορες πολιτικες απόψεις,τότε μπορουμε να βαλουμε στο μοντέλο και τους ελκυστές.
Αν δηλαδή , καμπυλη είναι αυτο που οριζει την πολιτικη ατζεντα,το ευστοχο επιχειρημα που θα λειτουργησει ως ελκυστής, τοτε αυτός που θετει τα σωστα επιχειρηματα βρισκεται πιο κοντα στην καμπυλη και απολαμβανει το γεγονος οτι διαμόρφωσε την ατζεντα...
Και αφου οι περισότεροι αναλώνονται σε αρλουμπες, έφτασε ο Καρατζαφέρης να ειναι πιο κοντα στην καμπυλη απ'οτι οι αλλοι...
Η ευθύνη βαραίνει κυρίως την αριστερα γιατι παρά τη σαφη ταση της καμπυλης προς τα αριστερα (βλεπε ύφεση) οι αριστερες φωνες ,αριστερίζοντας απλα ,μη διεκδικοντας την κυβερνηση , αποτυγχανουν στο να διαμορφωσουν ατζεντα και να γινουν κατ'επεκταση οι απόλυτοι ελκυστες...
Αν και το απόλυτο δεν ειναι πεμπτουσια.Σημασια εχει να συνειδητοποιησουμε οτι ειμαστε μερος ενος ολου και δεν μπορουμε ,ουτε θελουμε να αφανισουμε κανεναν.Αν θελουμε να αφανισουμε κατι αυτο ειναι οι παλιες νοοτροπιες που ακομα οριζουν την καμπυλη...

cynical είπε...

Γεια σου Προκόπη,

Πού φευγεις για διακοπες!!
Το καλοκαιρι θα λειτουργήσουν απο το βλογ εντατικα τμηματα φυσικης για ολα τα φαινομενα που μπορει να παρουσιαστουν στις διακοπες, όπως "γιατι δαγκώνουν οι σκνίπες", "πώς τα μυρμήγκια διαλεγουν ειδικα τη δική σας σκηνη για να κανουν φωλια", επίσης γρήγορα τεστ που να ανισχνευουν τα "ξίδια",και αλλα πολλα ενδιαφεροντα!

Αν παρ' όλα αυτα...

Καλες και ανεφελες διακοπες!

Greek Rider είπε...

Αντε cynical να περάσουν οι μέρες να πας διακοπές να παίρνουμε και εμείς σειρά γιατί έχουμε πήξει στη ζέστη, το καυσαέριο και το τσιμέντο!!

de profundis είπε...

Τι πιθανότητες υπάρχουν αντί στο δωμάτιο μου να καταλήξω στο δικό της??

υ.γ Το περπάτημα τελικά σας εχει γίνει έμμονη ιδέα ,εκλαμβάνω αυτή την ανάρτηση ως μια προσπ'αθειία σας να θεωρητικοποίησετα τα ελλατώματά σας.

VaD είπε...

Κι όλα αυτά ,για να μας πεις πώς να μην κάνουμε οχτάρια όταν τα κοπανάμε;:)))
Κι άλλος επισκέπτης το πρότεινε:
-Ωρα για διακοπές νομίζω:))

cynical είπε...

Hristos καλησπερα,
αυτο ακριβως πρεπει να γινει με την αριστερα. Απο ουραγος να γινει ελκυστης.

cynical είπε...

Γεια Rider
εφετος οι διακοπες αργησαν εναν ολοκληρο μήνα! Υπομονη σε ολους!

cynical είπε...

Γεια σου @de Profundis,

Μου δινετε λειψα δεδομενα. Ποσα βηματα μακρια απο το μπαρ ειναι το δωματιο της; Η επιστημη δεν μπορει να κανει και τον μαντη. Αλλιως στις καφετζουδες!

cynical είπε...

Κι ομως @VaD οι τυχαιοι περιπατοι εχουν πολυ ενδιαφερον. Κοροιδευετε, κοροιδεύετε, αλλα αν δεν μαθετε αυτο το μαθημα καλα πώς θα παρακολουθησετε τα επομενα που θα ακολουθησουν; Και μετα στις εξετασεις να σας δω, που δεν θα προφταινω να μηδενιζω κόλλες!

kakos είπε...

Εμένα η μόνη μου καλή σχέση με τα μαθηματικά , την φυσική και τις λοιπές τοιαύτες επιστήμες , ήταν οι καμπύλες . Είτε τις έκανα μετά από οινοπνευματοποσία είτε τις απολάμβανα οπτικώς .
Μετά απ' αυτό όμως που διάβασα , με τρόμαξες .
Να πίνω ή να μην πίνω ?
Αναστολή ...
πλην του καπνίσματος , αφού γι' αυτό μάλλον δύσκολα θα μας βρείς κάτι σε "καμπύλες" !

καλές δροσιές Cynic !!!!

cynical είπε...

Γεια σου Κακο,

Ξέρεις τι ωραία σχηματα φτιάχνει ο καπνός; Μονο και μονο γιαυτη την οπτικη απολαυση αξιζει κανεις να καπνίζει!