Δευτέρα, 14 Απριλίου 2008

Η Αναπαραγωγή των Κονίκλων και ο Δρόμος προς το ΧΑΟΣ


-ΕΙΔΙΚΗ ΠΑΣΧΑΛΙΝΗ ΕΚΔΟΣΗ-

Το Χάος, έχει εισχωρήσει για τα καλά στο καθημερινό λεξιλόγιο εσχάτως, όχι όμως με τον τρόπο που γινόταν ανέκαθεν, δηλαδή σαν ένδειξη μιας καθολικής ακαταστασίας, αλλά έχοντας φιλοδοξίες σαφώς μεγαλύτερες, εισβάλλει σαν έννοια πλέον, που με υπερτονισμένο το μαθηματικό/φυσικό της υπόβαθρο διεκδικεί ταυτόχρονα και την ερμηνεία, πέρα από την απλή ονομασία ή περιγραφή, μιας οποιασδήποτε πολύπλοκης πραγματικότητας. Φυσικά κουτσή.

Δε λέω, είναι μια πολύ πιασάρικη λέξη που, [μιας και την ουσία της, από αυτούς που την κακοποιούν στα γενικά ακροατήρια, ουδείς σχεδόν κατανοεί], αποτελεί ένα βολικό super-duper πασπαρτού για την εξήγηση των πιο αλλόκοτων και δυσνόητων φαινομένων, δια της εφαρμογής της ομοιοπαθητικής μεθόδου: ερμηνεία του ακατανόητου μέσω μιας εξ ίσου ακατανόητης μεθόδου.

Σήμερα όμως σκοπεύω να διαλύσω αυτές τις τόσο βολικές ομίχλες και να αφηγηθώ ένα πολύ απλό σενάριο το οποίο περιέχει αρκετά από τα βασικά συστατικά στοιχεία της θεωρίας του Χάους, και το οποίο προέρχεται από την ζωή των κουνελιών, δηλαδή από τον θαυμαστό και πολύ περίεργο τρόπο με τον οποίον αναπαράγονται.


Η Δημογραφική Εξίσωση (LOGISTIC MAP)

Ας ξεκινήσουμε από την παρακάτω πολύ απλή εξίσωση

όπου οι μεταβλητές


xn και xn+1
δηλώνουν τους κουνελο-πληθυσμούς κατά τους χρόνους n και n+1, αντίστοιχα, και τους οποίους για χάριν ευκολίας, ας υποθέσουμε ότι παίρνουν τιμές μόνο μεταξύ 0 και 1.

r
είναι ένα θετικός πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, δηλαδή, τον αριθμό κουνελιών ανά έτος.

Η εξίσωση αυτή, (γνωστή και σαν δημογραφική εξίσωση), μας δείχνει ότι ο πληθυσμός των κουνελιών κατά τον χρόνο (n+1), που αναπαρίσταται στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ως (xn+1), εξαρτάται


1) από τον πληθυσμό κατά τον προηγούμενο χρόνο (xn),

2) από τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, (r), αλλά και

3) από έναν παράγοντα (1-xn), που δηλώνει την ελάττωση που επέρχεται στον optimum αριθμό των κουνελιών που μπορεί να εκθρέψει το δεδομένο περιβάλλον, (και είναι ίσος με 1), λόγω προκύπτοντος υπερπληθυσμού.

Έτσι,
για να βρούμε τον αριθμό των κουνελιών τον πρώτο χρόνο n=1, δίνουμε μια αυθαίρετη τιμή (πάντα ανάμεσα στο 0 και το 1) στον αρχικό πληθυσμό, (x0), κατά τον χρόνο n=0. Έστω 0.3. Υποθέτουμε, επίσης, μια τιμή θετική για τον ρυθμό αναπαραγωγής r, (ανάμεσα στο 0 και το 4 όπως θα δούμε παρακάτω) και υπολογίζουμε με ένα pocket calculator την παράσταση που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης. Ό,τι προκύψει για τον πληθυσμό στον πρώτο χρόνο, το αντικαθιστούμε πίσω στο δεξί μέλος, στο xn, και κάνοντας τις πράξεις με το ίδιο r, παίρνουμε τον πληθυσμό κατά τον δεύτερο χρόνο. Αυτό επαναλαμβάνεται αρκετές φορές μέχρι ότου ο τελικός πληθυσμός σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, έτσι ώστε με μια επί πλέον επανάληψη, δηλαδή την επόμενη χρονιά, ο πληθυσμός να μην αλλάζει. Ή να σταθεροποιείται σε ένα σύνολο τιμών που τις επόμενες χρονιές να παραμένουν οι ίδιες.


Η έκπληξη είναι ότι, (και εδώ μπαίνουμε στα χωράφια του Χάους), ο πληθυσμός των κουνελιών μετά από πολλές επαναλήψεις, μπορεί να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, μπορεί σε 2, μπορεί σε 4 , ή σε 1024 ή σε οποιαδήποτε απρόβλεπτη τιμή ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής r, δηλαδή ανάλογα με τον ρυθμό αναπαραγωγής και μόνο, και ανεξάρτητα από την υπόθεση που κάναμε για τον αρχικό πληθυσμό εκκίνησης, x0.


ΟΛΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ r, ΤΟΥ ΡΥΘΜΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ


Αν τοποθετήσουμε σε ένα διάγραμμα τις τιμές του r στον άξονα των x και τους τελικούς πληθυσμούς στον άξονα των y, τότε προκύπτει το πολύ πολύπλοκο διάγραμμα της επόμενης εικόνας, που ονομάζεται BIFURCATION diagram και το οποίο είναι ένα ακριβές αποτύπωμα της αναπαραγωγικής ή και σεξουαλικής συμπεριφοράς των συμπαθών τετραπόδων.




Έτσι, αν ο ρυθμός αναπαραγωγής r, είναι


1. ανάμεσα στο 0 και το 1, τότε μετά από μερικά χρόνια δεν θα έχει μείνει κανένα κουνέλι στο κοτέτσι.

2. ανάμεσα στο 1 και το 2, τότε ο πληθυσμός γρήγορα θα σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, την (r-1)/r, ανεξάρτητα πάντα από τον αρχικό πληθυσμό. Δηλαδή ο κουνελοπληθυσμός είναι προβλέψιμος.

3. ανάμεσα στο 2 και το 3 τότε ο πληθυσμός θα σταθεροποιηθεί μετά από κάποιες αρχικές ταλαντώσεις στην τιμή (r-1)/r, όπως και προηγουμένως, ενώ για το r=3 η σύγκλιση είναι πάρα πολύ αργή.


Ως εδώ ΔΕΝ παρατηρούμε κάποια ένδειξη Χάους. Οι πληθυσμοί είναι προβλέψιμοι. Τα πράγματα αρχίζουν να γίνονται ενδιαφέροντα όταν ο ρυθμός αναπαραγωγής αρχίσει να παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 3.


4. ανάμεσα στο 3 και το 3.449489 (στο περίπου), τότε μετά από κάμποσα χρόνια ο πληθυσμός των κουνελιών ταλαντώνεται σταθερά και προβλέψιμα ανάμεσα σε δύο τιμές, A και Β, εναλλάξ.

5. ανάμεσα στο 3.449489 και το 3.54 (στο περίπου), ο κουνελο-πληθυσμός μετά από χρόνια ταλαντώνεται ανάμεσα σε τέσσερεις διαδοχικές τιμές.

6. μεγαλύτερος του 3.54 ο πληθυσμός μπορεί να παίρνει μια από 8 πιθανές τιμές, για λίγο μεγαλύτερο r μπορεί να σταθεροποιείται σε μια από 16, ή 32, κ.ο.κ. τιμές. Το μήκος των διαστημάτων μεταβολής του r που δίνει τον ίδιο αριθμό πιθανών πληθυσμών, μικραίνει δραματικά, αλλά ο λόγος δυο διαδοχικών διαστημάτων είναι σταθερός, ίσος με δ=4.669, ονομάζεται σταθερά του Feigenbaum και θεωρείται μια από τις παγκόσμιες σταθερές.


Όλα αυτά συμβαίνουν εφ' όσον το r παίρνει τιμές μικρότερες του 3.57 (στο περίπου).



Η κατάσταση που μόλις περιγράψαμε και όπου για κάθε νέο διάστημα τιμών του r, διπλασιάζεται ο αριθμός των πιθανών τιμών στις οποίες μπορεί να σταθεροποιηθεί ο κουνελο-πληθυσμός, ονομάζεται period doubling cascade, και όταν παρατηρείται σε ένα δυναμικό σύστημα είναι σίγουρο ότι αυτό γρήγορα θα βρεί το δρόμο για το Χάος.

7. Το ΧΑΟΣ αρχίζει για r μεγαλύτερο του 3.57 όπου μια απειροελάχιστη μεταβολή του σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, επιφέρει δραματικές αλλαγές. Δηλαδή, το σύστημα μπορεί να κάτσει σε οποιαδήποτε τιμή, (ο αριθμός των κουνελιών μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή), η οποία θα είναι τελείως διαφορετική αν ο ρυθμός αναπαραγωγής μεταβληθεί κατά μια απειροελάχιστη ποσότητα, δηλαδή έστω και στο 15ο δεκαδικό ψηφίο, για παράδειγμα.


Εδώ φαίνεται αυτό που λέγεται για το Χάος, ότι δηλαδή, είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες.

8. Οι περισσότερες τιμές πέρα από το r=3.57 δίνουν απρόβλεπτη, ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά, δηλαδή κάθε επόμενη χρονιά ο πληθυσμός μπορεί να είναι ο οποιοσδήποτε. Παρ' όλα αυτά, υπάρχουν ακόμα κάποιες περιοχές τιμών όπου το σύστημα εμφανίζει ΜΗ-ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά. Αυτές οι περιοχές αντιστοιχούν στις λευκές ταινίες στο διάγραμμα της προηγούμενης εικόνας και ονομάζονται νησίδες σταθερότητας (islands of stability).


Οι περιοχές αυτές δείχνουν καθαρά πώς μπορεί ένα σύστημα που συμπεριφέρεται εντελώς χαοτικά, για μια μικρή αλλαγή των αρχικών συνθηκών του να γίνει και πάλι κανονικό και εύτακτο. Δηλαδή οι πληθυσμοί να ταλαντώνονται ανάμεσα σε δυο, ή τρεις ή πέντε τιμές και να είναι προβλέψιμοι από χρονιά σε χρονιά.


Το μοντέλο σταματάει μέχρι το r=4. Για μεγαλύτερες τιμές το σύστημα αποκλίνει. Και δεν ασχολούμαστε πλέον.


Όλα όσα είπαμε από το 1-7, μπορείτε να τα αναγνωρίσετε στην παραπάνω εικόνα, η οποία παρεμπιπτόντως είναι fractal, διότι με αυτά που είπαμε σε μια προηγούμενη ανάρτηση αν κάνετε μια μεγέθυνση ενός κομματιού του διαγράμματος, η εικόνα που θα προκύψει θα είναι ακριβώς ίδια με αυτή που βλέπετε τώρα. Την ιδιότητα αυτή την ονομάσαμε Αυτο-ομοιότητα και όπως βλέπουμε εδώ χαρακτηρίζει όλα τα Χαοτικά συστήματα.


Τι μάθαμε λοιπόν ως εδώ;

Α) Η χαοτική συμπεριφορά, δηλαδή η παντελής έλλειψη προβλεψιμότητας στον τελικό πληθυσμό συμβαίνει μετά από έναν καταιγιστικό ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟ των πιθανών αποτελεσμάτων, period doubling). Δηλαδή από μια προβλέψιμη τιμή του πληθυσμού, πηγαίνουμε σε 2 δυνατές τιμές του πληθυσμού, μετά σε 4, μετά σε 16, 32, κ.ο.κ, όσο αυξάνει ο ρυθμός αναπαραγωγής.

Β) Υπάρχουν περιοχές τάξης (δηλαδή προβλεψιμότητας) μέσα σε καθαρά χαοτικές περιοχές,

Γ) Το bifurcation διάγραμμα που παίρνουμε έχει φρακταλική δομή (αυτο-ομοιότητα).

Δ) Το χάος είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, (ειδικά για r ανάμεσα στο 3.57 και το 4).



ΥΓ. Όλα τα παραπάνω μπορείτε να τα βρείτε στο:http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

28 σχόλια:

nelly είπε...

τωρα αν σου πω οτι καθησα και διαβασα ολοκληρο το κειμενο,θα σου πω ψεματα...

cynical είπε...

Γειά σου Nelly. Καλά αν δεν μπορείς τώρα, θα σου το συγχωρήσω. Αλλά κράτησέ το, γιατί αν καμιά φορά στη ζωή σου θα κληθείς να αντιμετωπίσεις το ΧΑΟΣ, το κείμενο αυτό θα σου δώσει την πιο καταληπτή και ευσύνοπτη πραγμάτευση του φαινομένου. Κράτα το, για την κακιά την ώρα. Αλήθεια λέω και για το καλό σου.

Κ.Κ.Μοίρης είπε...

Ιησούς Χριστός !

Nomad είπε...

Να σας πω, με τιμή 3.58, υπάρχει λέτε περίπτωση τριπλής η και τετράδιπλης απαναλμβανώμενης ταλάντωσης του αριθμού θηλυκών απογόνων της Τζέσικα Ράμπιτ στην αγκαλιά μου, χωρίς το σύστημα να κυλήσει σε αυτοομοιότητα με την καταστροφή του Δράμαλη στο σπίτι;

Ευχαριστώ!

de profundis είπε...

@ cynical Επειδή δεν είμαι καλός στους υπολογισμούς θα μπορούσατε να μου ορίσετε την φρακταλικη περιοχή όπου αρχίζουμε να πνίγουμε κουνέλια??,

@κ.κ μοιρη Γιατί φίλτατε αφήσατε ημιτελές το καθ όλα εύστοχο σχολιο σας ,το ολοκληρώνω εγώ για λογαριασμό σας.

Ιησούς Χριστός Νικά
Και όλα τα κακά σκορπά.

de profundis είπε...

@nomad ,cynical Με ενδιαφερει και μενα το ζήτημα που θετει ο nomad αλλά για κουνελάκια του Playboy.

cynical είπε...

@Αγαπητέ κ. Κ.Κ.Μοίρη καλησπέρα σας.
Μιας και βαδίζουμε προς το Πάσχα, όπου το κουνελάκι αποτελεί εξέχον σύμβολο, θεώρησα χρήσιμο να προβώ σε ενδελεχή ανάλυση της αναπαραγωγικής/σεξουαλικής τους συμπεριφορά και αυτήν ακριβώς τη γνώση θέλησα να αναρτήσω ώστε να αποτελέσει κτήμα ολόκληρης της ανθρωπότητας. Τόσο απλά!!

cynical είπε...

@nomad καλησπέρα σας.
Με το νουμεράκι που διαλέξατε δυστυχώς έχετε πεσει στη βαθειά χαοτική μαρμίτα, όπου η κ. Jessica έχει οριστεί από τα μαθηματικά να αναπαράγεται εντελώς ακανόνιστα, με αποτέλεσμα τις χρονιές που θα επιθυμούσατε τη ζεστή συντροφιά των απογόνων της η εν λόγω κυρία να αποδειχτεί εντελώς στέρφα...

Στην περίπτωση αυτή θα σας συμβούλευα να συμβιβαστείτε με το πεπρωμένο σας μιας και ούτε ολόκληρος ο στρατός του Δράμαλη δεν θα μπορέσει να αλλάξει τη φυσική νομοτέλεια.

cynical είπε...

@de profundis, δεν προσδιορίσατε ποιό είναι το ΚΑΚΟ: το κουνέλι ή η Cynical?

Ισχύει και για σας η απάντηση που έδωσα στον κ. Nomad για τις πιθανότητες που έχετε να πέσετε σε γόνιμες ή στέρφες χρονιές της κ. Jessica αφ' ενός ή του κ. Hefner αφ' ετέρου. Ευτυχώς που χωρίσατε τα κουνελάκια γιατί θα είχαμε αίματα εδώ πέρα...

Τα κουνελάκια πνίγονται χωρίς να χρειάζονται την θεωρία του χάους για να το πράξουν. Αυτό μπορεί να συμβεί και σε μια κουταλιά νερό...

Nomad είπε...

Κάτι πρέπει να γίνει με αυτά τα χαοτικά κουνέλια, αλλιώς πάλι θα κυνηγάμε κοτόπουλα πασχαλιάτικα.

:ΡΡΡ

Nomad είπε...

ΥΓ. Προκειμένου να συμβάλλω στην καθυστέρηση εκδήλωσης της ασθένειάς σας, σας προσκάλεσα σε ενα παιχνίδι που σνομπάρατε στο βλογ μου και η μόνη περίπτωσις να δεχθώ την απαξίωσή σας είναι να πείσετε την κ.Ράμπιτ να δεχθεί το 3,58. εαν μου πειτε πως δεν παρεμβαίνετε στα χαώδη, οφείλετε να αποδεχθείτε τα προ(σ)κλητικά.
Καλα να παθετε.
Το χαος τιμωρεί.

cynical είπε...

@κ. Nomad, πριν βγείτε για νυχτερινές επιδρομές στα κοτέτσια, περιμένετε λίγες μέρες μέχρι να βγεί από την Κεντρική Επιτροπή Χαοτικών Τιμών και Ισοτιμιών, (ΚΕΧΤΙ) ο φετεινός έγκυρος ρυθμός αναπαραγωγής, r. Που ξέρετε μπορεί να ευνοεί τόσο εσάς όσο και τον κ. de Profundis.

cynical είπε...

@nomad. I dare say, that someone has framed Cynical in place of Roger Rabbit.
(Ισχύει τελικά, "το όποιος σκάβει τον λάκκο του αλλουνού πέφτει ο ίδιος μέσα". Θα αναλάβω τις ευθύνες μου).
I do!
What is the procedure?

cynical είπε...

@nomad. What is the deadline?

Nomad είπε...

Η ντεντλάιν είναι συνάρτηση της κυμματοειδούς οργονικής συνάρτησης των αιτιατών Χομπιλις (αριστερόστροφου σπιν) όπως εξάγεται εαν εφαρμόσουμε πανω τους πίεση με δείκτη απομαζοποίησης Χν+1

Κοινώς όποτε βολευεστε αγαπητή.

:)

cynical είπε...

@ nomad, με χαρά διαπιστώνω ότι αφομειώνετε σιγά σιγά το σύγχρονο λεξιλόγιο.
Άντε τώρα να σκεφτώ να γεμίσω μια σελίδα με σαράντα και βάλε εξυπνάδες! Και με το σακούλι στα τελειώματά του. Ούτε στον εχθρό σου να μη τύχει...

Κ.Κ.Μοίρης είπε...

όχι, όχι...
μη συμπληρώνετε και μην ερμηνεύετε αυθαίρετα

το "Ιησούς Χριστός" ενέχει θέση έκπληξης, όχι απαραίτητα δυσάρεστης

θα μπορούσε εναλλακτικά να αντικατασταθεί με την vulgaire έκφραση "φακ !" αλλά είπα να μην δημιουργήσω κακές εντυπώσεις με την πρώτη επίσκεψή μου στα μέρη σας

cynical είπε...

@Κ.Κ.Μοιρη μας σας ευχαριστώ για την ευγενική σας διευκρίνηση, διότι ο κ. de Profundis ψάχνει απεγνωσμένα να αποσπάσει μαρτυρίες από ανεπηρέαστους και αθώους ανθρώπους σαν και ελόγου σας, ώστε να χρεώσει έπάνω σε μένα και στο blogίδιό μου, όλα τα κακά της ανθρωπότητας.

Φαντάζομαι ότι η απλή ανάγνωση του κειμένου μου σας έλυσε προαιώνιες απορίες για το καυτό αυτό θέμα.
Σας ευχαριστώ και πάλι.

Swell είπε...

Καλημέρα σου, προσωπικά γνωρίζω άλλη εξίσωση για τα των κούνελων.

ΙSO: International Organization for Standardization

cynical είπε...

@swell, τώρα τι θ απρέπει να απαντήσώ ώστε να μην στραβοπατήσω;
Το ISO πάντως το έχω εξασφαλίσει με νόμιμα μέσα, έχω δε και τα ναγκάια παραστατικά να επιδείξω.

karaflokotsifas είπε...

Μέτα από αυτή την ανάρτηση
μπορώ πια να βάλω σε μια τάξη το
χάος που επικρατεί στην αποθήκη μου
Ευχαριστώ πολύ για την πολύτιμη
βοήθειά σου


τσίου!!!

cynical είπε...

@karaflokotsyfa καλημέρα. Πριν από οτιδήποτε πρόσεξε μόνο τον ρυθμό αναπαραγωγής της ακαταστασίας σου, διότι τότε μπορεί να πράγματα να γίνουν χειρότερα.
τσάο!!!

Ναπολέων είπε...

1. Μαθαίνετε τόσα πολλά μαθηματικά στην ιατρική;
2. Βάζοντας αυτήν που δήλωσες ως ημερομηνία γέννησής σου στην εξίσωση στο Excel βρήκα ότι γεννήθηκες όταν έμπαινα στο Πολυτεχνείο(*), κάνω λάθος;
3. Αν ο κόσμος είναι Χάος (που είναι) και το Χάος fractal (που είναι), πώς γίνεται από ένα ωάριο κι ένα σπερματοζωάριο να βγαίνουμε εμείς;;;
Μοιάζουμε σε τίποτα μ' αυτά τα ωραιότατα πλασματάκια;;;
α-α-ε
Ν.
-----------
(*) όχι με τάνκς...

cynical είπε...

κ. Ναπολέοντα, πάλι καλημέρα σας.
1. Παράτησα την ιατρική επειδή τα μαθηματικά που μας δίδασκαν ήταν παιδαριώδη.
2. Είτε σας πω ότι κάνετε λάθος, είτε όχι, σχετικά με την χρονολογία γέννησής μου, είστε σίγουρος πως μπορείτε να την πάρετε τοις μετρητοίς;
3. Το γράφω καθαρά ότι το χαος υποθάλπει καταστάσεις μεγάλης τάξης. Φυσικά εκτός ισορροπίας, χωρίς να εξυπονοώ ότι ό,τι εντάσσεται σ' αυτές μπορεί να χαρακτηριστεί ανισόρροπο.

Πόλυ Χατζημανωλάκη είπε...

Βέβαια σας εντόπισα κατόπιν εορτής αλλά μια και επιλέξατε τα κουνέλια για το παράδειγμά σας - όπως ο Λεονάρντο ντα Πίζα επέλεξε την αναπαραγωγή των κουνελιών για να "παράγει" την ακολουθία Φιμπονάτσι, ο Λιούις Κάρολ (μαθηματικός) βάζει ένα λαγό να υποδέχεται την Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων και άλλοι μη μαθηματικοί (Σαλβαντόρ Νταλί και Καίσλερ) αγάπησαν με πάθος τα κουνέλια επιτρέψτε μου να αναφερθώ σε μια σχετική ανάρτηση στο ιστολόγιό μου: Η γυναίκα και το κουνέλι, στο

http://waxtablets.blogspot.com/2008/10/blog-post_09.html

cynical είπε...

Καλως ορισες Πόλυ. Και σ' ευχαριστω που μου εδωσες την ευκαιρια να γνωρισω και το δικο σου ιστολογιο.
Δεν γνωριζα για τα κουνελια του φιμπονατσι. Μου εδωσες μια πολυ καλη ιδεα να τα ..ψαξω.

Μπορεί να μην ειναι κουνελι, αλλα ειναι πανεμορφος. Μιλαω για τον λαγο του Ντυρερ.

Πόλυ Χατζημανωλάκη είπε...

Εγώ ευχαριστώ για την προσοχή σου. Με αφορμή αυτή την ανάρτησή σου για την αναπαραγωγή των κονίκλων, συνεχίζω στο ιστολόγιό μου το παιχνίδι με τα κουνέλια, τους μαθηματικούς και τη μυθιστορηματική αίρεση των Λαπίνων.

cynical είπε...

Καλημερα Πόλυ. Ποτε δεν μου ειχε περάσει απο το μυαλο ότι η εξαιρετικη φυσικη γονιμότητα των κουνελιών θα αποδεικνυόταν εξ ισου γονιμη και στη λογοτεχνια..